√2 が無理数である（整数分の整数で表せない）と言える理由

f(p, q) = 2 p^2 - q^2 とすると、

あらゆる正の整数 p, q について、
q が奇数のとき、
q = 2k+1 (k は 0 以上の整数) とおくと、
f(p, q)
= 2 p^2 - (2k+1)^2
= 2 p^2 - 4 k^2 - 4k - 1
= 2 (p^2 - 2 k^2 - 2k - 1) + 1
≠0
q が偶数 かつ p が奇数のとき、
q = 2k, p = 2h+1 (k, h は 0 以上の整数) とおくと、
f(p, q)
= 2 (2h+1)^2 - (2k)^2
= 2 ((2h+1)^2 - 2 k^2)
= 2 (4 h^2 + 4h - 2 k^2 + 1)
= 2 (2 (2 h^2 + 2h - k^2) + 1)
≠0
q が偶数 かつ p が偶数のとき、
f(p, q)
= 2 p^2 - q^2
= 4 (2 (p/2)^2 - (q/2)^2)
= 4 f(p/2, q/2)

整理すると、
p, q の両方ともが偶数のとき f(p, q) = 4 f(p/2, q/2)
p, q のいずれかが奇数のとき f(p, q) ≠0

ゆえに、あらゆる正の整数 a, b について、
f(a,b)＝4 f(a/2,b/2)＝‥＝4^(n-1) f(a/2^(n-1),b/2^(n-1))＝4^n f(a/2^n,b/2^n)
  ( n≧0。a,b,‥,a/2^(n-1),b/2^(n-1) は偶数。a/2^n, b/2^n のいずれかが奇数 )
4^n f(a/2^n, b/2^n)≠0                   (∵ a/2^n, b/2^n のいずれかが奇数 )

よって、あらゆる正の整数 a, b について、
f(a, b) ≠ 0
2 a^2 - b^2 ≠ 0
2 a^2 ≠ b   ^2
2     ≠(b/a)^2
√2   ≠ b/a