0≦x＜1で arctan(x)が x - x^3/3 + x^5/5 - ‥‥ - (-1)^n (x^(2n-1)/(2n-1))で近似(誤差 x^(2n+1)/(2n+1) 以下)できる理由

f(x) = arctan(x) - (x - x^3/3 + x^5/5 - ‥‥ - (-1)^n (x^(2n-1)/(2n-1)))
とすると、
f'(x)
= d/dx (arctan(x) - x + x^3/3 - x^5/5 + ‥‥ + (-1)^n (x^(2n-1)/(2n-1)))
=  1/(1 + x^2)    - 1 + x^2   - x^4   + ‥‥ + (-1)^n  x^(2n-2)
= (1/(1 + x^2)){1 + (1 + x^2)(- 1 + x^2 - x^4 + ‥‥ + (-1)^n x^(2n-2)}
= (1/(1 + x^2)){1 - 1 - x^2 + x^2 + x^4 - x^4 - x^6 + ‥‥
                                     + (-1)^n x^(2n-2) + (-1)^n x^(2n)}
= (1/(1 + x^2)) (-1)^n x^(2n)
= (-1)^n (x^(2n)/(1 + x^2))

nが偶数の場合、
f'(x) = x^(2n)/(1 + x^2)
x≧0 のとき f'(x)≧0 より f(x) は横這いか増加だから、
x≧0 のとき f(x)≧f(0) = arctan(0) - 0 = 0 ‥‥‥ (1)
g(x) = x^(2n+1)/(2n+1) - f(x) とすると、
g'(x) = x^(2n) - f'(x) = x^(2n) - x^(2n)/(1 + x^2) = x^(2n+2)/(1 + x^2)
x≧0 のとき g'(x)≧0 より g(x) は横這いか増加だから、
x≧0 のとき g(x)≧g(0) = 0 - f(0) = 0 - (arctan(0) - 0) = 0
すなわち、x^(2n+1)/(2n+1)≧f(x)  ‥‥‥‥‥‥‥‥ (2)
(1)(2)より、x≧0 のとき 0≦f(x)≦x^(2n+1)/(2n+1)

nが奇数の場合、
f'(x) = - x^(2n)/(1 + x^2)
x≧0 のとき f'(x)≦0 より f(x) は横這いか減少だから、
x≧0 のとき f(x)≦f(0) = arctan(0) - 0 = 0 ‥‥‥ (3)
h(x) = - x^(2n+1)/(2n+1) - f(x) とすると、
h'(x) = - x^(2n) - f'(x) = - x^(2n) + x^(2n)/(1 + x^2) = - x^(2n+2)/(1 + x^2)
x≧0 のとき h'(x)≦0 より h(x) は横這いか減少だから、
x≧0 のとき h(x)≦h(0) = - 0 - f(0) = - 0 - (arctan(0) - 0) = 0
すなわち、- x^(2n+1)/(2n+1)≦f(x)  ‥‥‥‥‥‥‥ (4)
(3)(4)より、x≧0 のとき - x^(2n+1)/(2n+1)≦f(x)≦0

整理すると、x≧0 のとき、
nが偶数の場合、0≦f(x)≦x^(2n+1)/(2n+1)
nが奇数の場合、- x^(2n+1)/(2n+1)≦f(x)≦0
統合すると、x≧0 のとき、
- x^(2n+1)/(2n+1)≦f(x)≦x^(2n+1)/(2n+1)
すわなち、|f(x)|≦x^(2n+1)/(2n+1)

0≦x＜1 のとき、
lim[n→∞]|f(x)|≦lim[n→∞](x^(2n+1)/(2n+1)) = 0 より、
lim[n→∞]|f(x)| = 0 となり、誤差は 0 に収束する。
これが、
arctan(x) が x - x^3/3 + x^5/5 - ‥‥ - (-1)^n (x^(2n-1)/(2n-1))
で近似できる理由。
そのとき誤差は x^(2n+1)/(2n+1) 以下。