リーマン予想と素数の謎､番外編その７(19/2/27更新)。〜振動アーベル総和法とオイラーの定理と〜

　今回は､前回飛ばした無限項における自然数和の"振動アーベル総和"の公式､"1+2+3+•••"＝lim[x,0+]Σ[k=1,∞]ke⁻ᵏˣcos(kx)＝−1/12､ 0＜x(≒0)の証明です。

　この自然数和の振動アーベル総和法では､非常にゆっくり減衰振動する収束因子(e⁻ᵏˣとcos(kx))を発散級数にかけ収束させるんですが。x→0+の時､e⁻ᵏˣ→1とcos(kx)→1により､明らかなような気もしますが､結構ややこしいです。

 

有限項の振動アーベル総和＿＿＿＿＿＿＿

まず､通常の有限項の自然数の総和を､
Sn＝Σ[k=1,n]k､
有限項の振動アーベル総和を､
Hn(x)＝Σ[k=1,n]ke⁻ᵏˣcos(kx)､と定義します。

Sn＝1+2+3+•••+n､より
lim[n,∞]Sn＝1+2+3+•••､
lim[x,0+]Hn(x)＝"1+2+3+•••+n"､
lim[x,0+](lim[n,∞]Hn(x))＝"1+2+3+•••"､となりますね。　

　つまり､有限項の振動アーベル総和("1+2+3+•••+n")を無限に拡張したのが､無限項の振動アーベル総和("1+2+3+•••")という事で､ご理解をです。

　すると､
lim[n,∞]Sn＝1+2+3+•••＝∞､は明らかで､
"1+2+3+•••+n"＝1+2+3+•••+n、
"1+2+3+•••"＝−1/12､
つまり､
lim[x,0+]Σ[k=1,n]ke⁻ᵏˣcos(kx)＝Σ[k=1,n]k､
lim[x,0+]Σ[k=1,∞]ke⁻ᵏˣcos(kx)＝−1/12､
と､2つの”命題”が成立します。

　因みに､命題とは”真偽を判断できるお題”という事で。

　一方､””で括った､この"新しい和"という概念ですが。無限項では､通常の総和Snは発散するが､この新しい和("1+2+3+•••")は､有限項では従来の総和Snと等しい(命題1)。しかし無限項での”新しい和”は､−1/12に収束する(命題2)と。
　この”新しい和”の概念を”命題”という形で提出するんですが。少し抽象的すぎますかね。

　まず､命題1の証明ですが。
Hn(x)＝Σ[k=1,n]ke⁻ᵏˣcos(kx)と定義したので､"1+2+3+•••+n"＝lim[x,0+]Hn(x)＝Σ[k=1,n]ke⁻ᵏ⁰cos(k0)＝Σ[k=1,n]k＝1+2+3+•••+n､となり､簡単に証明出来ますね。

 

無限項の総和とオイラーの定理と＿＿＿＿

　次に命題2の証明です。この無限項の自然数の振動アーベル総和の時が､ホントややこしいです。長くなりますが悪しからずです。

　まず､S＝1+2+3+•••＝Σ[k=1,∞]kの無限項の自然数の総和を考えます。
　この時､H(x)＝Σ[k=1,∞]ke⁻ᵏˣcos(kx)､0＜x(≒0)と関数を定義します。H(x)とHn(x)の違いに注意ですが､H(x)＝lim[n,∞]Hn(x)と覚えときましょう。

　ここで有名な”オイラーの定理”です。eⁱᶿ＝cosθ+i*sinθでしたね。これにe⁻ⁱᶿ＝cosθ−i*sinθを加え､cosθ＝1/2*(eⁱᶿ+e⁻ⁱᶿ)と変形。θ＝kxとし､cos(kx)＝1/2(eⁱᵏˣ+e⁻ⁱᵏˣ)と。

　故に､H(x)＝Σ[k=1,∞]ke⁻ᵏˣ1/2(eⁱᵏˣ+e⁻ⁱᵏˣ)＝1/2Σ[k=1,∞]ke⁻ᵏ⁽ˣ⁻ⁱˣ⁾+1/2Σ[k=1,∞]ke⁻ᵏ⁽ˣ⁺ⁱˣ⁾ー①と。少しゴチャしてますが辛抱です。

　ここで､G(z)＝Σ[k=1,∞]ke⁻ᵏᶻ､z∈C(複素数)､と定義すると､G(z)＝1/z²−1/12+O(z)と表現できます。O(z)はランダウの記号(微妙に揺れ動く挙動値)ですよ。
　以降､x∈R(実数)とz∈C(複素数)の間を行き来しますので､ゴッチャにならん様に(追記)。

　G(z)＝1/z²−1/12+O(z)の証明ですが。
　
　まずアーベル総和法により､この証明を試みます。アーベル総和Sa＝"1+2+3+•••"＝lim[z,0+]Σ[k=1,∞]ke⁻ᵏᶻにより､Sa＝lim[z,0+]G(z)となりますね。
　そこで､自然数を係数とした､初項e⁻ᶻ､公比e⁻ᶻの無限等比級数の公式より､G(z)＝Σ[k=1,∞]ke⁻ᵏᶻ＝e⁻ᶻ/(1−e⁻ᶻ)²､となります。
　故に､Sa＝lim[z,0+]G(z)＝e⁻⁰/(1−(−e⁻⁰)²＝∞となり発散します。つまり､アーベル総和法の限界です。

 

ベルヌイの定義とマクロリン展開と＿＿＿＿

　ここからが､ベルヌイ数とマクローリンの登場で､少しややこしくなりますが､恐れずに進みます。数学には度胸や勇気が必要ですね。

　このベルヌイの定義式､zeᶻ/(eᶻ−1)＝Σ[n=0,∞]Bn/n!*zⁿの両辺を2乗し､z²で割ります。それから左辺にe⁻ᶻを掛け､右辺にはe⁻ᶻのマクローリン級数＝Σ[n=0,∞]1/n!*(−z)ⁿを掛けます。

　すると､e⁻ᶻ/(1−e⁻ᶻ)²＝1/z²(Σ[n=0,∞]Bn/n!*zⁿ)²Σ[n=0,∞]1/n!*(−z)ⁿとなり､右辺にx＝−zを入れると､G(z)＝1/x²*(Σ[n=0,∞]Bn/n!*(−x)ⁿ)²Σ[n=0,∞]1/n!*xⁿ､ー②を得ます。
　ゴッチャしますが､辛抱です。

　ここで､Σ[n=0,∞]Bn/n!*(−x)ⁿ＝1−x/2+x²/12+O(x³)､Σ[n=0,∞]1/n!*xⁿ＝1+x+x²/2+O(x³)と､zeᶻ/(eᶻ−1)とe⁻ᶻをマクローリン展開した2式を使います。　　
　因みにO(x³)とは､xを無限大に飛ばした時のx³以降の挙動値です。マクローリン展開には､剰余項としてランダウの記号O(x)が出てくるので､よく理解をです。

　この2式を②式に代入し､1/x²で括ると､G(x)＝1/x²(1−x²*1/12+O(x³))＝1/x²−1/12+O(x)を得ます。この1/x²が発散の原因になるので､次に､これを取り除きます。

　そこで､H(x)とG(x)の両式を比較します。
　G(z)＝1/z²−1/12+O(z)＝Σ[k=1,∞]ke⁻ᵏᶻにより､G(x−ix)＝Σ[k=1,∞]ke⁻ᵏ⁽ˣ⁻ⁱˣ⁾＝1/(x−ix)²−1/12+O(x)と表現。因みに､O(x)=O(x−ix)とします。

　次に､H(x)はオイラーの定理を使うと①式により､H(x)＝1/2*G(x−ix)+1/2*G(x+ix)でしたね。
　故に､H(x)＝1/2*(1/(x−ix)²−1/12+O(x))+1/2*(1/(x+ix)²−1/12+O(x))＝1/2(x−ix)²+1/2(x+ix)²−1/12+O(x)＝−1/4ix²+1/4ix²−1/12+O(x)＝−1/12+O(x)。出来るだけ関数を崩さぬように計算です。

　すると､Hn(x)＝Σ[k=1,n]ke⁻ᵏˣcos(kx)により､両辺に極限をかけると､lim[n,∞]Hn(x)＝Σ[k=1,∞]ke⁻ᵏˣcos(kx)＝H(x)＝−1/12+O(x)ですね。H(x)＝Σ[k=1,∞]ke⁻ᵏˣcos(kx)､0＜x(≒0)と定義した事をお忘れなく。
　
　従って､"1+2+3+•••"＝lim[x,0+](lim[n,∞]Hn(x))＝lim[x,0+](−1/12+O(x))＝−1/12となりました。O(0)=0という事をお忘れなく。という事でめでたく､”命題2”の長く険しい証明の終りです。

 

オイラーとアーベル総和法＿＿＿＿＿＿＿

　結局､アーベル総和法では発散した､自然数の無限項の総和("1+2+3+•••")ですが。
　まず､振動アーベル総和の公式:Σ[k=1,∞]ke⁻ᵏˣcos(kx)をオイラーの定理を使い､指数関数のみで表現しましたね。
　次に､ベルヌイの定義とマクロリン展開を使い､アーベル総和の公式:Σ[k=1,∞]ke⁻ᵏˣを､1/x²−1/12+O(x)と展開し､発散の原因になった1/x²を､振動アーベル総和の公式H(x)を使って消し去り､その結果､lim[x,0+]H(x)＝"1+2+3+•••"＝−1/12を得たんです。

　つまり､アーベル総和と振動アーベル総和との間に､オイラーの定理とベルヌイの定義とマクロリン展開を噛ませる事で､自然数の無限項の総和("1+2+3+•••")を収束させたんです。

　事実オイラーは､このマクローリン級数とベルヌイ数を使って､ゼータの特殊値の公式を発見するんですが。故にオイラーの総和法は､アーベルにもちゃんと受け継がれてたんですかね。　　

　特に､マクロリン級数とベルヌイ数がいきなり登場した時は､無理っぽと思いましたが､やってみるもんです。

　様々な見慣れない公式や定義が登場し､頭が混乱しますが､落ち着いてやれば､そこまで難しくはないです。

 

アーベルという人(補足)＿＿＿＿＿＿＿＿

　アーベル(Niels Henrik Abel 1802〜1829)は若くして悲劇的な死をとげた19世紀の数学者として広く知られている。”その5”でも少し触れましたね。

　アーベルが､当時世界最高レベルといわれた数学の総本山パリ科学アカデミーへ提出した､"超越関数の中の非常に拡張されたものの､一般的な性質に関する論文"こそが､後に“青銅よりも永続する記念碑”と謳われ､後代の数学者に500年分の仕事を残してくれた､とまで言われた､不滅の大論文だったのです。

　楕円関数にて､研究上のライバルであったヤコビ(カール･グスタフ･ヤコブ･ヤコビという人で､ベルヌーイとは別です)は､このアーベルの論文を目にして"私には批評もできない大論文"と､最大限の賛辞を送ったとされる。ヤコビはアーベルの定理を使い､ヤコビの逆問題を示し､その後の研究に大きく貢献したんです。

　可換な群を指す”アーベル群”など､多くの数学用語にも名を残している。無限級数の収束に関する”アーベルの定理”も有名だが､他にも無限級数の一様収束を初めて注意した事で知られる。

　”アーベルの証明”と言われる”5次方程式の解の公式は存在しない”は､一般的に知られてる偉業です。アーベル方程式､アーベル積分､アーベル関数､アーベル多様体､遠アーベル幾何学などアーベルの名を冠している数学用語はとても多いのです。

 

最期に＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

　数学の超人ガロアすら怖れた､この数学の超新星であるアーベルですが。ゼータの特殊値という級数の総和を通じ､先人オイラーとやはり密に繋ってたんですね。
　そして､オイラーやアーベルの総和法が正しい事をリーマンが証明したんです。

　そう考えると､”群”を通じてガロアと繋ってたアーベルは､この総和法を通じてオイラーを受け継ぎ､リーマンにバトンを渡したと言えますかね。

　”リーマンの謎”とは何の関係もないと思い､何度も消そうかと思ったブログですが。オイラーやリーマンと密に繋がってた事を知り得ただけでも､この記事を更新した甲斐があったと言うもんですね。勿論ラマヌジャンともですが。

　次回の番外編”その7”ですが､振動アーベル総和法の一般公式の証明で､この番外編を締め括りたいと思います。