有理数とは？無理数とは？(更新)〜知ってるつもりで知らない数字のお話

　有理数？と問われ､一言で言い表せる日本人が何人いるだろうか？
　因みに､私は有理数がどんな数か？知らずに生きてきた。そんなもの知らなくとも生きていけると思ったからだ。いや､それ以上に､”有理”という堅苦しい日本語が嫌いなのだ。
　早速､ウィキで調べてみると､”有理数(rational number)とは､2つの整数a,b(b≠0)を用い､a/bという分数で表せる数”とある。

　これを書いた人は有難い事に､”位取りの基数”とか､”位取り記数法”とかの重々しい希少数学用語を使い､有理数をバカ詳しく論述しておられる。
　これだから何時の世にも数学者は嫌われるかもですが。自分さえ解ってればそれでいい､不特定多数と交わる気なんて毛頭ない。こんな人種こそが､全く”割り切れない”男(=irrational human)と言って､誰からも相手にされず､隔離されるのでしょうか。
　話しを戻します。
　そこで､｢中3数学〜有理数と無理数とはなんだろう？｣のサイトを潜ってみた。やはり､同じ様に､”有理数＝分数で表せる数”とある。
　でも私めの解答は､”有理数=割れる数”ですね。”割れる→有理の→rational→合理的な→道理をわきまえた”となる(多分)。
　つまり､分子を分母で”割れる”(=商)数。
　分母がゼロだと”割れない”から､分母≠0の条件がつく。だったら､分子がゼロの時は？ってなるが。その時はゼロに収束するから､”割れる”のです。
　因みに､”商”をイタリア語であらわす”quoziente”をとって､有理数全体は､Q={a/b:a､b∈Z､b≠0}で表現されます。Zは整数(Zahlen､ドイツ語で数という意味)です。

　そこで､”割れる”と”割り切れる”とはどう違うの？って事になる。
　そこで､”割れる数(有理数)”は､”割り切れる数”と”割り切れない数”に分けられます。そして､”割り切れる数”は､”整数”と”割り切れる小数”(有限小数)とに分けられます。
　この有限小数とは”割り切れる小数”の事で､3/10(=0.3)や1/4(=0.25)などですね。小数の位が延々と続かない小数です。勿論､この有限小数も有理数です。

　これに対し､”無限小数”とは､延々と小数の位が続く小数です。この無限小数の中でも､小数の続き方に規則性があるモノを”循環小数”と言うのですが。
　この”循環小数”こそが､有理数の中でも”割り切れない数”なんです。つまり､この循環小数も分数で表せる､どんなにややこしい循環小数も1/3＝0.33333...等など。やり方は後ほどです。

　そんなら､割り切れない数で循環小数でない奴は？となる。
　そこで､”割れない数”である”無理数”(=irrational number)の登場となる。有理数があれば無理数もある筈､と思うのが人間の情けですね。
　この”循環小数でもない割り切れない小数”こそが､無理数。つまり､小数の続き方が不規則な奴です。
　この無理数こそが”分数で表せない数=割れない数=irrational ”です。”有理数では無い数=無理数”とすれば覚えやすいですね。

　さてと､この”循環しない無限小数”である無理数ですが。どんな数字なの？
　皆がよく知ってるのは円周率です。π=3.1415926535897932.....と､小数の位に規則性がありません。他には､√2(=1.4142135623...)や自然対数の底であるe(ネイビア数=2.718281828...)ですね。
　有理とか無理とか堅苦しい日本語よりも､割れる(有理数)割れない(無理数)とか､割り切れる(整数及び有限小数)割り切れない(循環小数)とかの表現の方が､身近にイメージできそうですが､数学はタイトな学問なので厳密な言葉が必要なんでしょうか。

　つまり､何を言いたいのかというと､理解するとはイメージする事。イメージが出来れば問題の見通しが明るくなる。堅苦しい言葉で数字を定義しようとすると､イメージは更に遠のきそうです。
　日本で数学が浸透し難いのは､日本語特有の曖昧さもあるのでしょうが。その曖昧さがイメージや創造を遮る。勿論､直感だけで数学を捉えるのも失敗を招くんですが､イメージする事で新たなアイデアが生まれる事もあるから何とも言えない。

　オイラーもガウスもリーマンも”計算の神様”と言われてましたが､アイデアや創造の神様でもあったんですね。
　以上､あんまりスキッとしない数のお話でした。

補足〜eが無理数である事の証明

　ネイビア数eが無理数である事はオイラーによって初めて証明されました(1737年)。ただ”無限連分数展開”が無限に続くのを証明する必要があり､かなりややこしいので､eをマクローリン展開を用いて表す方法で証明します。
　まず､e=q/p(p,qは互いに素な自然数)で表せると仮定し､その矛盾を導きます。
　指数関数のマクローリン展開において､x=1を代入すると､e=1+1+1/2!+1/3!+1/4!+･･･。
　次に､この両辺にp!をかけ､右辺の第p+1項までの分母を払う。　　
　(p−1)!q=N+1/(p+1)+1/(p+1)(p+2)+1/(p+1)(p+2)(p+3)･･･。但し､Nは自然数。
　ここで､右辺の各項を上から抑えます。
　1/(p+1)(p+2)<1/(p+1)²
　1/(p+1)(p+2)(p+3)<1/(p+1)³
　・
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　よって､(p−1)!q−N<1/(p+1)+1/(p+1)²+1/(p+1)³+⋯<{1/(p+1)}/{1−(1/(p+1))}=1/p≤1となり､これは左辺が自然数である事に矛盾する(｢高校の美しい数学｣より)。
　故に､eはq/pの形で表せないので､有理数にはなりえない。つまり無理数である事が証明できます。

　因みに､π(円周率)が無理数である事の証明ですが､1947年にIvan Niven(1915-1999,米)の初等的な証明が有名ですが､まず､π=a/bと仮定し､a,bから作られる関数f(x),F(x)を定義して､その仮定からF(π)+F(0)が整数である事を示す。
　次に､f(x)sinxの原始関数がF’(x)sinx−F(x)cosxの時､∫[0,π]f(x)sinxdx=F(π)+F(0)が整数である事を示す。
　最後に､0<F(π)+F(0)<1となり､仮定に矛盾するので､πは有理数にななりえない。
　この3つの流れで証明しますが､私には無理っぽでした。