ローラン展開と積分公式〜Laurentが奏でる妖艶なるツール

　｢テイラー展開とその定理｣では､”ローラン展開は特異点(正則でない点)の周りで展開する”と言いましたが､当然ながら”領域内は正則である”との条件が付く。これは､領域内に極や特異点があると展開できないからです。但し､以下でも述べるが､正則関数とは(領域内)全ての点で何回でも微分可能な複素関数の事で､微分回数が制限される実関数とは性格が異なる。
　つまり､ローラン展開の考え方として､”正則関数でなくともべき乗を掛ければ正則になる”有理型関数を考える事で展開を可能にする。
　仮に､f(z)=1−z+z²−z³+⋯=1/(1+z)=g(z)を考えると､f(z)から見た解析接続はg(z)により成されるが､逆にg(z)から見れば､f(z)によって原点周りでテイラー展開されてるとも言える。例えば､φ(z)=f(z)/z²=1/z²(1+z)はz=0にて2位の極を持ち､正則ではない。が､z²を掛けるとz²φ(z)=1/(1+z)と､z=0でも正則となる。故に､φ(z)のz=0近傍でのローラン展開は､φ(z)=1/z²(1+z)=(1−z+z²−z³+…)/z²=1/z²−1/z+1−z+z²⋯となる。　
　以上より､正則関数を適当なべき乗で割り､テイラー展開の次元を一斉に下げ､”負のべき乗”を含んだ式に展開したものをローラン展開と呼び､テイラー展開の拡張版ともいえる。
　一般に､複素関数を特異点周りで積分するにはローラン展開し､多項式の各項を積分するだけでいい。つまり､複素積分には欠かせないツールとも言えますね。
　

複素関数のテイラー展開

　一方で､｢前回｣で述べたテイラー展開はローラン展開同様に複素関数でも使えますが､その展開の形は全く同じです。が､その展開可能性の条件は異なります。
　以下､｢前回｣と同様に｢高校数学の美しい数学｣より大まかに纏めます。
　複素関数のテイラー展開を厳密に言えば､関数f(z)がaを中心とする半径Rの閉円盤Δ*(a,R)=|z−a|≦Rで正則とする。この時､円盤内部の任意の点z∈Δ(a,R)に対し､f(z)=∑ₙ[0,∞]aₙ(z−a)ⁿ､aₙ=f⁽ⁿ⁾(a)/n!が成立する。
　但し､閉円盤をΔ*(a,R)={z∈C||z−a|≦R}､開円盤をΔ(a,R)={z∈C||z−a|<R}で表す。
　ここで､複素関数で”正則”とは､1回複素微分可能であれば､”C∞級関数(無限回微分可能=｢グルサの定理｣)かつテイラー展開可能(解析的)になる”との便利な性質がある。だが､実数関数では無限回微分可能だからとて､テイラー展開できるとは限らない。これは剰余項が0に収束する必要があるからで､複素関数での正則性は実微分可能性より強くなる。言い換えれば､使い勝手がいい。

　そこで､複素関数でテイラー展開が出来る事の証明ですが､以下でも述べる｢コーシーの積分公式｣と｢グルサの定理｣を使います。
　円盤内部の点z∈Δ(a,R)より､c=|z−a|=Rを閉円盤Δ*の円周とし､∫[c]をc上の周回積分とすれば､fは閉円盤Δ*で正則となるので｢積分公式｣:f(z)=1/2πi･∫[c]f(w)/(w−z)･dwー①が使える。そこで､1/(w−z)=1/((w−a)−(z−a))=1/(w−a)･1/(1−(z−a)/(w−a))=1/(w−a)･(1+(z−a)/(w−a)+(z−a)²/(w−a)²+(z−a)³/(w−a)³⋯ )=Σₖ[0,∞](z−a)ᵏ/(w−a)ᵏ⁺¹と①式の被積分部は展開でき､f(z)=1/2πi･∫[c]f(w)Σₖ[0,∞](z−a)ᵏ/(w−a)ᵏ⁺¹･dwと変形できる。
　ここで､この級数が閉円盤Δ*(a,R)の円周c上で”一様収束”する事から､項別微分が可能になり､∫とΣを交換できて､f(z)=Σₖ[0,∞](z−a)ᵏ･1/2πi･∫[c]f(w)/(w−a)ᵏ⁺¹･dwと変形できる。
　つまり､aₙ=1/2πi･∫[c]f(w)/(w−a)ⁿ⁺¹･dwとおくと､f(z)=∑ₙ[0,∞]aₙ(z−a)ⁿとの級数展開を得る。更に､｢グルサの定理｣よりf(z)のn回微分が可能であれば､f⁽ⁿ⁾(a)/n!=1/2πi･∫[c]f(z)/(z−a)ⁿ⁺¹･dzとなり､aₙ=f⁽ⁿ⁾(a)/n!を得る(証明終)。
　因みに､一様収束の確認ですが､w∈|z−a|=r(<R)とすると､sup[w]|1/(w−z)−Σₖ[0,∞](z−a)ᵏ/(w−a)ᵏ⁺¹|=sup|1/(w−z)･((z−a)/(w−a))ⁿ⁺¹|≦1/(R−r)･(r/R)ⁿ⁺¹→0,(n→∞)。
　但し､supとは上限の事で､lim[n→∞]sup[x]|fₙ(x)−f(x)|=0の時､関数列fₙ(x)はf(x)に”一様収束”するという。つまり､関数列全体が一気に(一様に)収束するイメージです。一方で､xをaに固定すれば､fₙ(x)はf₁(a),f₂(a),⋯と数列として扱え､f(a)に収束する時”各点収束”と呼ぶ。”絶対収束”との言葉もあるが､これは数列の収束を言う。

　そこで､複素関数でのテイラー展開の例を上げる。R<1として､f(z)=1/(1−z)をΔ(0,R)で展開すると､f(z)=Σₙ[0,∞]zⁿを､またg(z)=sinxをΔ(0,R)で展開すると､g(z)=Σₙ[0,∞](-1)ⁿzⁿ⁺¹/(2n+1)!を得る。　
　以上､少し記号のお遊びっぽくなりましたが､ご勘弁をです。

ローラン展開の基本

　冒頭での述べた様に､一般に､点aを中心とする半径Rの円盤領域:0<|z−a|<Rで正則(無限回微分可能)な複素関数f(z)の点aの周りのローラン展開とは､f(z)=Σₙ[−∞,∞]aₙ(z−a)ⁿ=a₋₂/(z−a)²+a₋₁/(z−a)+a₀+a₁(z−a)+a₂(z−a)²+⋯という(テイラー展開に)”負のべき乗を許した”級数展開で示されます。
　つまり､中心と領域を決めれば､この表示は一意的となり､これをf(z)のローラン展開と呼ぶ。但し､aₙ=1/2πi･∫[|z−a|=r]f(z)/(z−a)ⁿ⁺¹･dzで､∫[|z−a|=r]はzが|z−a|=r,0<r<Rを満たす円周上を走る周回積分となる。
　以下､今度は｢趣味の大学数学｣を参考に纏めます。

　そこで注意したいのが､ローラン展開で正則に出来るのは”孤立特異点”の事で､その近くに他の特異点が存在しない。つまり､特異点が密集した所ではローラン級数と言えど展開できないのだ。
　例えば､f(z)=1/z(z−1)において､z=0,1は孤立特異点となる。半径として1/2を選べば良いが､0<|z|<2という領域の選び方をすると､z=1との特異点が含まれ､ローラン展開できない。故に､半径を適切に小さく選ぶ事でローラン展開を可能にする様な特異点が孤立特異点となる。
　一方で､logzにおいてz=0は特異点であり､同時に孤立特異点ではない。これは､z=0だけでなく負の実部でも正則ではないので､z=0を中心とする小さい円周領域を考えても必ず特異点を含む。この様に､ある点の周りに無限個の特異点が集まる時の特異点を”非孤立特異点”又は”集積特異点”と呼ぶ。以下､特異点と言えば孤立特異点とする。
　定義で言えば､0<|z−a|<Rにて､fが正則である様な半径Rが存在する時､z=aがfの”孤立特異点”となる。

　そこで､孤立特異点の例を幾つか上げると､f(z)=1/zではz≠0では正則となり､z=0が孤立特異点となり､同様に､g(z)=1/z(z+1)は0と−1が孤立特異点となる。また､h(z)=1/sinzはz=nπ(n∈Z)で正則ではないが､R<πとすれば正則となり､z=nπが孤立特異点となる。但し､f(z)とg(z)の孤立特異点は有限個だが､h(z)の孤立特異点は無限個存在する。
　つまり､ローラン展開の孤立特異点の近傍でのべき級数展開だが､特異点では微分ができないから､テイラー展開f(z)=∑ₙ[0,∞]aₙ(z−a)ⁿのaₙ=f⁽ⁿ⁾(a)/n!が使えない。一方､｢グルサの定理｣より微分可能な場合は､f⁽ⁿ⁾(a)/n!=1/2πi･∫[|z−a|=R]f(z)/(z−a)ⁿ⁺¹･dzが成立する。
　因みに(以下でも述べますが)､｢グルサの定理｣とは､コーシーの積分公式が正則関数f(z)を積分で表現する公式に対し､f(z)のn階導関数も積分で表現出来るものです。

　そこで､微分できない場合も係数をaₙ=1/2πi･∫[|z−a|=R]f(z)/(z−a)ⁿ⁺¹･dzと定めて､べき級数展開できないかと考える。結果から言えば､この時(nが0からではなく−∞から動くので)f(z)=∑ₙ[−∞,∞]aₙ(z−a)ⁿが成立する。この証明は後に回すとして､実際にz=aで正則ならローラン展開とテイラー展開は一致する。なぜなら､n≦−1の時､aₙ式の被積分関数は正則になり､｢コーシーの積分定理｣より､aₙ=0になり､負の部分が消えるからだ。
　

ローラン展開と孤立特異点

　そこで､f(z)=1/sinzをz=0近傍でローラン展開してみる。
　1/sinz=1/z⋅z/sinz=1/z⋅{1/z(z−z³/3!+z⁵/5!−⋯)}⁻¹=1/z⋅(1−z²/3!+z⁴/5!−⋯)⁻¹=1/z⋅(1−(z²/3!−z⁴/5!+⋯))⁻¹=1/z⋅∑[0,∞](z²/3!−z⁴/5!+⋯)ⁿ=1/z⋅(1+(z²/3!−z⁴/5!+⋯)+⋯)=1/z⋅(1+z²/6+7z⁴/360+⋯)=1/z+z/6+7z³/360+⋯となる。但し､途中でsinz=z−z³/3!+z⁵/5!+⋯と1/(1−z)=1+z+z+z+⋯のテイラー展開を使った。

　ここで､孤立特異点の分類を説明する前に､②1/z(z−1)をz=1の周りで､③sinz/zをz=0の周りで､④e^(1/z)をz=0の周りで､ローラン展開する。②はまず､1/(z+1)=−1/z+1/(z−1)と部分分解し､1/(z−1)=1+z+z²+z³+⋯の等比級数の展開式を用い､1/z(z−1)=1/z+1+z+z²+z³+⋯を得る。
　③は､sinzのテイラー展開を用い､sin⁡z/z=1/z⋅(z−z³/3!+z⁵/5!−⋯)=1−z²/3!+z⁴/5!−⋯を得る。④もeᶻのテイラー展開より､e^(1/z)=1+(1/z)+(1/z)²/2!+…を得る。　 

　そこでまず､f(z)=∑ₙ[−∞,∞]aₙ(z−a)ⁿの∑ₙ[−∞,0]aₙ(z−a)ⁿ=⋯+1/aₙ(z−a)ⁿ+⋯+1/a₁(z−a)の負のべき乗の展開部分を主要部とする。但し､正のべき乗の展開部はテイラー展開となります。
　つまり､孤立特異点はローラン展開の主要部により､”極･可除特異点･真性特異点”と3つに分類できる。
　主要部が0でなく､かつ有限項の場合の孤立特異点を”極”(pole)と呼ぶ。上の例で言えば､①の1/z(z−1)のローラン展開の主要部は1/zのみで､孤立特異点z=0は極となる。一方で､その負のべき乗の最大次数を”位数”(order)と言い､故にz=0は位数1の極(1位の極)とも呼ぶ。
　因みに､極という名の由来だが､|1/z|をグラフにすると､z=0にて､その絶対値は無限大になり､ポールの様になるからとされる。
　次に②のsin⁡z/zの場合､sinzは複素数全体で正則でz=0は孤立特異点となる。だが､sin⁡z/zのローラン展開は負のべき乗が含まず(主要部が存在しなく)単にテイラー展開となり､特異点が消える。この様な特異点を除去可能特異点(可除特異点=見かけ上の特異点)と呼ぶ。
　③のe^(1/z)のローラン展開は主要部が無限項あり､極でも可除特異点にも属さない。この様な特異点を真性特異点と呼ぶ。また､その点付近で極端な挙動を取る様な”真に悪い”特異点とも呼ばれる。
　以上､除去可能特異点は実質正則とみなせるので､特異点と言えば､極と(極以外の)真性特異点だけを考えればいい。

ローラン展開とコーシーの積分公式

　最後に､ローラン展開の証明ですが､(｢グルサの定理｣を使うのは)前述の正則複素関数のテイラー展開とほぼ同じだが､特異点を避ける様に｢コーシーの積分公式｣を適用する所が異なる。故に､図3の様なユニークな領域を周回する事になり､反時計回りの外側の円C₁と時計回りの内側の円C₂に分かれ､積分公式は2つの項に分けて表される。
　これを頭に入れとけば､ローラン展開と言えど､難しくはない。
　以下､最後は｢何となく分かるローラン展開｣から簡潔に纏めます。

　因みに､｢コーシーの積分公式｣を簡単に言えば､”閉曲線Cの内部に特異点aがある時､関数f(z)/(z−a)の閉曲線Cに沿った周回積分の値は2πif(a)になる”との事で､式で表せば､∫[c]f(z)/(z−a)･dz=2πif(a)となる。
　但し､閉曲線Cやz,aは(図1)の様になり､関数f(z)は閉曲線Cの内部で正則とし､∫[c]は閉曲線Cを回る周回積分とする。
　そこで､Cの周回上を動く変数をw､C内部の特異点aをzと置き換えると(図2)､上の積分公式は冒頭の①式と同じく､∫[c]f(w)/(w−z)･dw=2πif(z)､又はf(z)=1/2πi⋅∫[c]f(w)/(w−z)･dwと書ける。この時､f(w)はC内部で正則である。

　次に､閉曲線Cの外部に特異点a₁があるケースを考える。この特異点a₁を包み込む様に閉曲線Cを伸ばして変形する(図3)。
　但し､閉曲線を変形しただけの赤色の部分では関数f(w)は正則だが､wはC₁上を反時計周りに進み､C₂上を時計回りに進むので､C₁とC₂では互いに逆向きになる。更に､C₁とC₂を繋ぐ2つの経路でも互いに逆向きになる事に注意する。
　そこで､C₁とC₂を繋ぐ線積分は打ち消し合うので､関数f(w)/(w−z)の閉曲線C₁とC₂に沿った積分の値は2πf(z)になるので､積分公式は､∫[c₁₋c₂]f(w)/(w−z)･dw=2πif(z)と出来る。
　一方､f(z)=1/2πi⋅∫[c₁₋c₂]f(w)/(w−z)･dw=1/2πi⋅∫[c₁]f(w)/(w−z)･dw−1/2πi⋅∫[c₂]f(w)/(w−z)･dwと変形でき､”領域D内のある点zにおけるf(w)の値f(z)を求める”式に変わる。
　そこで図4の様に､点zはf(w)/(w−z)の特異点となる為､zは領域D内ならどこでもいい。但し､aはC₁とC₂の中心の基準点になるので､そのまま固定です。
　因みに､領域Dはドーナツ型で穴がありますが､コーシーの積分公式は”単純曲線に囲われた領域に当てはまる”ので､穴があっても適用できる。

　そこで､上の式の2項を計算します。まず1項目の被積分部は､f(w)/(w−z)=f(w)/((w−a)−(z−a))=f(w)/(w−a)⋅(1−1/((z−a)/(w−a))=f(w)/(w−a)⋅∑[0,∞](z−a)ⁿ/(w−a)ⁿとなり､この無限級数は|ζ−a|=C₁の半径で一様収束となる為に､1項目は積分∫と極限Σを交換できる。2項目も同様に､−f(w)/(w−z)=f(w)/((z−a)−(w−a))=f(w)/(z−a)⋅(1−1/((w−a)/(z−a))=f(w)/(z−a)⋅∑[0,∞](w−a)ⁿ/(z−a)ⁿとなり､この級数も|ζ−a|=C₂の半径で一様収束となる為に､2項目も積分∫と極限Σを交換できる。　
　以上より､f(z)=∫[c₁₋c₂]f(w)/(w−z)･dw=1/2πi⋅∫[c₁]f(w)/(w−a)⋅∑[0,∞](z−a)ⁿ/(w−a)ⁿ⋅dw+1/2πi⋅∫[c₂]f(w)/(z−a)⋅∑[0,∞](w−a)ⁿ/(z−a)ⁿ⋅dwとなり､ここで(2つの項で∫とΣを入れ替えると)=1/2πi⋅∑[0,∞](z−a)ⁿ⋅∫[c₁]f(w)/(w−a)ⁿ⁺¹⋅dw+1/2πi⋅∑[0,∞]1/(z−a)ⁿ⁺¹⋅∫[c₂]f(w)/(w−a)ⁿ⋅dw=∑[0,∞]aₙ(z−a)ⁿ+∑[0,∞]a₋ₙ₋₁(z−a)⁻ⁿ⁻¹=∑[−∞,∞]aₙ(z−a)ⁿを得る。この時､aₙ=1/2πi⋅∫[c]f(w)/(w−a)ⁿ⁺¹･dwとなる(証明終)。
　一方で(冒頭で述べた)｢グルサの定理｣ですが､コーシーの積分公式:f(z)=1/2πi⋅∫[c]f(w)/(w−z)･dwにて､f(z)がn階導関数の時､この式をn回微分すれば､f⁽ⁿ⁾(z)=n!/2πi⋅∫[c]f(w)/(w−z)ⁿ⁺¹･dwと表現出来るものです。
　証明は､帰納法と簡単な極限の計算を使いますが(長くなりすぎるので)ここでは省きます。

最後に

　複素関数でのテイラー展開は､コーシーの積分公式とグルサの定理を使って求めましたが､ローラン展開はテイラー展開に加え､正則領域の外部に特異点があるケースを考え､この特異点を包み込む様に領域を変形し､特異点を避ける様にして､グルサの定理と積分公式を使って同様に求めました。　

　複素関数は､テイラー展開やローラン展開によりベキ級数に基づき定義されますが､正則な複素関数を閉じた特異点なしの経路で複素積分すると､その値は0になる。更に､閉じた経路内に特異点があれば､複素積分に留数が出る。
　当初の複素関数論では､実数の楕円積分などの値を得る為に関数を複素化し､べき級数に展開し､留数によって値を出す事が大きな動機になっていました。　
　故に､ローラン展開の本質は､展開公式の主要部の係数により複素積分が計算できる”留数定理”への応用にあります。
　因みに､ローラン展開の”Laurent”とは”妖艶さ”を意味しますが､特異点周りのべき級数展開を作る事で留数をつまみだす。この流れが実に妖艶なんでしょうか。
　そこで次回は”留数定理”について述べたいと思います。