前回｢その8｣では､バーゼル問題の完璧な証明となる”オイラー･マクローリン法”の詳細を述べましたが､少し判りにくかったでしょうか。 1734年の最初の証明は､非常に画期的なものでしたが幾つかの問題があった。が､その10年後にオイラーは､無限解析を用いて完璧な証明を与えます。 この完全なる”バーゼル問題”の証明(1745､1748)では､オイラーはま . . . 本文を読む
イデアルの概念に慣れ親しんで頂く為に､前回｢その4｣の最後の補足とその続きを見ていきますが､イデアル類群Cₖ={Pₖ,P₀Pₖ}の計算をK=Q(√(−5))と言う2次体の例を使って説明しました。 更にその応用として､xとyの2元2次形式のx²+5y²で表す事のできる素数pについては､以下の｢ラグランジュの定理｣が有名でした。 つまり､”素数 . . . 本文を読む
偶然にも､この記事のタイトルと同じ著書｢高木貞治とその時代:西欧近代の数学と日本｣(高瀬正仁著､2014)があった。同じ様なタイトルに､｢アーベルとその時代｣(Aストーブハウグ著､2003)があるが､前者は”時代”をEraと書き､後者はTimesとしている。 例えば､Eraは元号などで区切られる時代を指し､江戸時代以前はPeriodを使ったという。一方､Timesは一般的 . . . 本文を読む
前回｢その2｣では､初回の補足を兼ねたおさらいと､類体論の元となる代数的整数論の歴史(前半)を述べました。 そこでまずは､代数的整数論の基本の基について簡単に復習します。 代数的整数αを有理数体Qに添加して得られる体をQ(α)で表すが､代数的整数とは通常の整数(有理整数)とは異なり､有理整数を係数とする代数方程式で最高次の項の係数が1となる様な方程式の解となる複素数(実数 . . . 本文を読む
連日､バカみたいに暑い。こんなに暑いのは何時以来だろう？熱中症という言葉がこれほど賑わったのも何時以来だろうか？ 我が柳川市も､熱中症警戒アラートの対象になってしまった。因みに､柳川市近郊の久留米市では”暑さ指数”が33度を超え､熱中症の”危険”地域になった。 暑さ指数(WBGT=湿球黒球温度)とは､人間の熱バランスに影響の大きい”気温 . . . 本文を読む
前回｢その1｣では､高木貞治氏の研究の中核をなす”類体論”と､その基本定理である｢高木の存在定理｣について述べました。 自分では､結構掘り下げて書いたつもりですが､見れば見る程に穴がある。寄せられたコメントにも､それらを補足するものが目立つ。 そこで､前回のおさらいを兼ねて､｢数の概念｣と｢近世数学史談｣(共に高木貞治著)の解説を参考にし､類体論とその｢存在定理｣を振り返 . . . 本文を読む
Gooブログの｢今日のテーマ｣に”今週の予定は”ってのがあるが､仕方なく”類体論について纏めたい”と偉そうに書いた。だが実は､既に大半を書き上げていたから､何もやる予定はなかったのだ。 つまり､仕事以外では何の予定も入ってない。そもそも仕事自体は予定ではないし､嫌々ながら仕方なくやってるだけの事である。もっと言えば､暇潰しにもならない。 一方で､ブ . . . 本文を読む
｢不可能の証明｣の第3段階に入る前に､前回｢その6｣の[STEP2-2]で証明した様に､元の5次方程式y⁵−ay⁴+by³−cy²+dy−e=0―①の解yが､y=p+p₁･ᵐ√R+p₂･ᵐ√R²+⋯+pₘ₋₁･ᵐ√Rᵐ⁻¹―②の形に展開できる事を､3次方程式の例を上げて説明します。 ｢ . . . 本文を読む
計算と数学の違い ギリシャの偉大なる数学者プラトンは､”計算と算術(数論)は全く異なるもので､算術は誰もが出来るものではない”と言い放ち､若き天才ガロアは”計算の上を行く数学”を唱えた。 多くの人は､”算数の延長上に数学がある”と思い込んでいる。勿論､間違いではない。 が厳密に言えば､算数は計算で正しい答えを出す事を目的とする . . . 本文を読む
前回｢その5｣では､証明の第1段階のおさらいも兼ねて､詳しく丁寧に説明しました。 アーベルは証明の第1段階で”yを表す為に必要な全てのべき根ᵐ√R,ᵐ√R²,…,ᵐ√Rᵐ⁻¹が､最初の5次方程式の解y₁,y₂,…の有理式となる事が示せれば､｢不可能の証明｣を完了させる事は難しくない”と主張 . . . 本文を読む