今日から, ナゾを出していきます。
答えは, 後ろの方に載せました。
マウスで左ボタンを押しながらカーソルを移動させると見えるようになってます。
では, 第1問目です。
くりこみさんからのナゾ001:
「2の29乗は9桁の数で、それぞれの位の数が全て異なるという。
2の29乗を表すために0から9までの10個の数字を用意したのだが、
2の29乗は9桁なので1つ使わない数がある。
その数はいくつだろうか。
ただし、電卓を使わずに答えてほしい。」
ヒント1:
「仮に9が使われないとすると、2の29乗の各位の数 (つまり、0から8まで) の和が36になる。
36は9で割り切れるので、2の29乗を9で割ると余りが0。
しかし、2の29乗は9で割り切れないので、9は必要。
同じようにして、使われるべき数字が他にもありそうだ。
それと、
(ある数を9で割ったときの余り) = (各位の和を9で割ったときの余り)
という性質も使ってみよう。」
ヒント2:
「2のn乗を9で割ってみる。
2の10乗までくらいなら、電卓を使わなくてもすぐに計算できるだろう。
そして、それらを9で割った時の余りに注目しよう。
(だからといって1024÷9を計算しないように。
余りを出すだけなら、1024の各位の和 1+0+2+4=7で余りが7と分かる)
するとそこに、ある規則性を見つけられるだろう。
その規則性から、2の29乗を9で割った時の余りが分かりそうだ。
そして、
(2の29乗を9で割った時の余り) = (2の29乗の各位の数の和を9で割った時の余り)
であるから、2の29乗に使われない数字が求まりそうだ。」
ヒント3:
「2の29乗÷9の余りは5になる。
ということは、2の29乗の各位の数字の和は、9で割ると5余る。
0から9までの中から1つ数字を抜かして、余りが5になるようにしよう。
例えば1を抜かすとしたら、
0+2+3+4+5+6+7+8+9=44
で、44÷9=4…8。
余りが5になってないので、答えは1ではないようだ。
余りが5になるためには、どの数字を抜けば良いのだろうか。」
答え:
「 4.」
(解説)
「2のn乗÷9の余りに注目します。
n=1 のとき、2÷9の余りは2。
n=2 のとき、4÷9の余りは4。
n=3 のとき、8÷9の余りは8。
n=4 のとき、16÷9の余りは7。
n=5 のとき、32÷9の余りは5。
n=6 のとき、64÷9の余りは1。
n=7 のとき、128÷9の余りは2。
n=8 のとき、256÷9の余りは4。
n=9 のとき、512÷9の余りは8。
n=10のとき、1024÷9の余りは7。
n=11のとき、2048÷9の余りは5。
n=12のとき、4096÷9の余りは1。
n=13のとき、8192÷9の余りは2。
(以下省略)
ここで、nが1から6までとnが7から12の部分に分けてみます。
すると、2のn乗÷9の余りが2, 4, 8, 7, 5, 1の繰り返しになっていることが分かります。
2, 4, 8, 7, 5, 1のパターンに気付けば,
n=7, 13, 19, 25,...のとき、2のn乗÷9の余りは2と分かります。
すると、
n=25のとき、2のn乗÷9の余りは2。
n=26のとき、2のn乗÷9の余りは4。
n=27のとき、2のn乗÷9の余りは8。
n=28のとき、2のn乗÷9の余りは7。
そして、
n=29のとき、2のn乗÷9の余りは5。
ここまで来たら、あとは楽です。
(2の29乗÷9の余り) = (2の29乗の各位の数の和) = 5
なので、0から9の中から1つ数字を使わないで9桁の数を作ります。
2の29乗の各位の数字が異なるため、取り得る和の値は、36から45まで。
この中で、9で割ると余りが5になるのは41。
0から9までの和が45なので、求める数字は、
45 - 41 = 4
したがって、答えは4です。
本当は、合同式を使うともっとすっきりした解説になるのですが、
合同式を知っている人が限られてしまうので、あえて合同式は使いませんでした。
そのため、2の29乗÷9の余りが5になる所の論理も、厳密ではないです。
ちなみに、
2の29乗 = 536870912 = 9×59652323 + 5
です。」
