「リー群と表現論：小林俊行、大島利雄」
リー群やリー環、そしてそれらの表現論を学ぶためにそれぞれ特色のある以下の５冊を読んできたが、その総仕上げとして本書を選んだ。
「連続群論：保江邦夫」
「連続群論入門 (新数学シリーズ18)：山内恭彦、杉浦光夫」
「群と表現：吉川圭二」
「線形代数と群の表現 I ：平井武」
「線形代数と群の表現 II：平井武」
アマゾンのレビューでは「日本語の本ではトップタイ」と紹介されている。
岩波書店のページでの紹介：現代数学のほとんどすべての分野を結びつける中核として発展してきたリー群とその表現論について，前半では位相群とその表現論、リー群論・リー環論の基礎を、さらに後半では有限次元表現のカルタン-ワイル理論やボレル-ヴェイユ理論、無限次元ユニタリ表現の構成についての基本的な考え方を解説・紹介する。岩波講座「現代数学の基礎」『Lie群とLie環1,2』を単行本化。
６００ページもある大著で一見手ごわそうだが、中身は読みやすそうに見える。３００ページの本が２冊なのだと思い込むことにしよう。活字が大きいのにも救われた気がする。
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章立ては以下のとおり。実をいうと直前に位相空間の入門書を読んだのは、本書が位相群から始まっているからのだ。
第１章：位相群の表現
第２章：Fourier解析と表現論
第３章：行列要素と不変測度
第４章：Peter‐Weylの定理
第５章：Lie群とLie環
第６章：Lie群と等質空間の構造
第７章：古典群と種々の等質空間
第８章：ユニタリ群U(n)の表現論
第９章：古典群の表現論
第１０章：ファイバー束と群作用
第１１章：誘導表現と無限次元ユニタリ表現
第１２章：Weylのユニタリ・トリック
第１３章：Borel-Weil理論
時間はかかると思うが「７割の理解」を目標にがんばろう！
ブログ記事は章ごと、あるいは数章ぶんをまとめて書くつもりだ。この大著を読み終えてから「量子現象の数理：新井朝雄」の第４章「量子力学における対称性」に戻る予定だ。
「リー群と表現論：小林俊行、大島利雄」
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「リー群と表現論：小林俊行、大島利雄」
まえがき
理論の概要と目標
第1章 位相群の表現
§1.1 位相群
§1.2 位相群の表現
§1.3 種々の表現を構成する操作
§1.4 Hilbertの第5問題
第2章 Fourier解析と表現論
§2.1 Fourier級数
§2.2 Fourier変換とアファイン変換群
第3章 行列要素と不変測度
§3.1 行列要素
§3.2 群上の不変測度
§3.3 Schurの直交関係式
§3.4 指標
第4章 Peter‐Weylの定理
§4.1 Peter‐Weylの定理
§4.2 Peter‐Weylの定理の証明
（その1: Stone-Weierstrassの定理を用いる方法）
§4.3 Peter‐Weylの定理の証明
（その2: 関数解析を用いる方法）
§4.4 有限群論への応用
第5章 Lie群とLie環
§5.1 Lie群
§5.2 行列の指数関数
§5.3 Lie環
§5.4 Lie群とLie環の例
§5.5 Lie群の解析性
§5.6 Lie群とLie環の対応
第6章 Lie群と等質空間の構造
§6.1 普遍被覆群
§6.2 複素Lie群
§6.3 等質空間
§6.4 Lie群上の積分
§6.5 コンパクトLie群
第7章 古典群と種々の等質空間
§7.1 いろいろな古典群
§7.2 Clifford代数とスピノル群
§7.3 等質空間の例1: 球面の種々の表示
§7.4 等質空間の例2: SL（2,R）の等質空間
第8章 ユニタリ群U (n)の表現論
§8.1 Weylの積分公式
§8.2 極大トーラス上の対称式と交代式
§8.3 U (n)の有限次元既約表現の分類と指標公式
第9章 古典群の表現論
§9.1 古典群のルート系とWeylの積分公式
§9.2 Weyl群の不変式と交代式
§9.3 有限次元既約表現の分類と指標公式
第10章 ファイバー束と群作用
§10.1 ファイバー束と切断
§10.2 ベクトル束と主ファイバー束
§10.3 主束に同伴するファイバー束
§10.4 群作用と切断
§10.5 G -不変な切断
第11章 誘導表現と無限次元ユニタリ表現
§11.1 Frobeniusの相互律
§11.2 無限次元表現の構成
第12章 Weylのユニタリ・トリック
§12.1 複素化と実形
§12.2 Weylのユニタリ・トリック
§12.3 等質空間におけるユニタリ・トリック
第13章 Borel‐Weil理論
§13.1 旗多様体
§13.2 Borel‐Weilの定理
§13.3 Borel‐Weilの定理の証明
§13.4 Borel‐Weilの定理の一般化
現代数学への展望
参考文献
演習問題解答
索引
リー群やリー環、そしてそれらの表現論を学ぶためにそれぞれ特色のある以下の５冊を読んできたが、その総仕上げとして本書を選んだ。
「連続群論：保江邦夫」
「連続群論入門 (新数学シリーズ18)：山内恭彦、杉浦光夫」
「群と表現：吉川圭二」
「線形代数と群の表現 I ：平井武」
「線形代数と群の表現 II：平井武」
アマゾンのレビューでは「日本語の本ではトップタイ」と紹介されている。
岩波書店のページでの紹介：現代数学のほとんどすべての分野を結びつける中核として発展してきたリー群とその表現論について，前半では位相群とその表現論、リー群論・リー環論の基礎を、さらに後半では有限次元表現のカルタン-ワイル理論やボレル-ヴェイユ理論、無限次元ユニタリ表現の構成についての基本的な考え方を解説・紹介する。岩波講座「現代数学の基礎」『Lie群とLie環1,2』を単行本化。
６００ページもある大著で一見手ごわそうだが、中身は読みやすそうに見える。３００ページの本が２冊なのだと思い込むことにしよう。活字が大きいのにも救われた気がする。
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章立ては以下のとおり。実をいうと直前に位相空間の入門書を読んだのは、本書が位相群から始まっているからのだ。
第１章：位相群の表現
第２章：Fourier解析と表現論
第３章：行列要素と不変測度
第４章：Peter‐Weylの定理
第５章：Lie群とLie環
第６章：Lie群と等質空間の構造
第７章：古典群と種々の等質空間
第８章：ユニタリ群U(n)の表現論
第９章：古典群の表現論
第１０章：ファイバー束と群作用
第１１章：誘導表現と無限次元ユニタリ表現
第１２章：Weylのユニタリ・トリック
第１３章：Borel-Weil理論
時間はかかると思うが「７割の理解」を目標にがんばろう！
ブログ記事は章ごと、あるいは数章ぶんをまとめて書くつもりだ。この大著を読み終えてから「量子現象の数理：新井朝雄」の第４章「量子力学における対称性」に戻る予定だ。
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まえがき
理論の概要と目標
第1章 位相群の表現
§1.1 位相群
§1.2 位相群の表現
§1.3 種々の表現を構成する操作
§1.4 Hilbertの第5問題
第2章 Fourier解析と表現論
§2.1 Fourier級数
§2.2 Fourier変換とアファイン変換群
第3章 行列要素と不変測度
§3.1 行列要素
§3.2 群上の不変測度
§3.3 Schurの直交関係式
§3.4 指標
第4章 Peter‐Weylの定理
§4.1 Peter‐Weylの定理
§4.2 Peter‐Weylの定理の証明
（その1: Stone-Weierstrassの定理を用いる方法）
§4.3 Peter‐Weylの定理の証明
（その2: 関数解析を用いる方法）
§4.4 有限群論への応用
第5章 Lie群とLie環
§5.1 Lie群
§5.2 行列の指数関数
§5.3 Lie環
§5.4 Lie群とLie環の例
§5.5 Lie群の解析性
§5.6 Lie群とLie環の対応
第6章 Lie群と等質空間の構造
§6.1 普遍被覆群
§6.2 複素Lie群
§6.3 等質空間
§6.4 Lie群上の積分
§6.5 コンパクトLie群
第7章 古典群と種々の等質空間
§7.1 いろいろな古典群
§7.2 Clifford代数とスピノル群
§7.3 等質空間の例1: 球面の種々の表示
§7.4 等質空間の例2: SL（2,R）の等質空間
第8章 ユニタリ群U (n)の表現論
§8.1 Weylの積分公式
§8.2 極大トーラス上の対称式と交代式
§8.3 U (n)の有限次元既約表現の分類と指標公式
第9章 古典群の表現論
§9.1 古典群のルート系とWeylの積分公式
§9.2 Weyl群の不変式と交代式
§9.3 有限次元既約表現の分類と指標公式
第10章 ファイバー束と群作用
§10.1 ファイバー束と切断
§10.2 ベクトル束と主ファイバー束
§10.3 主束に同伴するファイバー束
§10.4 群作用と切断
§10.5 G -不変な切断
第11章 誘導表現と無限次元ユニタリ表現
§11.1 Frobeniusの相互律
§11.2 無限次元表現の構成
第12章 Weylのユニタリ・トリック
§12.1 複素化と実形
§12.2 Weylのユニタリ・トリック
§12.3 等質空間におけるユニタリ・トリック
第13章 Borel‐Weil理論
§13.1 旗多様体
§13.2 Borel‐Weilの定理
§13.3 Borel‐Weilの定理の証明
§13.4 Borel‐Weilの定理の一般化
現代数学への展望
参考文献
演習問題解答
索引
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