「リー群と表現論：小林俊行、大島利雄」
この章のテーマでのPeter‐Weylの定理は本書前半の山場である。ちょうど50ページあり、全体の理解度は90パーセントほどだった。まだまだいける。
この章ではPeter-Weylの定理が多角的な立場で解説される。具体的には、正則表現L^2(G)の既約分解、行列要素による連続関数の一様近似定理、L^2ノルムに関するParseval-Plancherel型の公式、Fourier変換と逆Fourier変換に対応する変換の明示公式、*-環としての代数構造などの側面からPeter-Weylの定理を掘り下げる。
さらにPeyter-Weylの定理を応用して「コンパクト群がLie群の構造をもつための必要十分条件はそれがGL(n,R)の部分群として実現できることである」という定理を証明する。また、有限群はコンパクト群の特別な場合であるからPeter-Weylの定理が成り立つ。その応用例としてBurnsideの定理などの有限群論の定理を証明している。
Peter-Weylの定理の証明法としては、Stone-Weierstrassによる多項式近似定理を使う方法（$4.2）とコンパクト作用素のスペクトル分解を用いる方法（$4.3）の２種類の証明法が解説されている。
Peter-Weyl Theorem (Wikipedia)
https://en.wikipedia.org/wiki/Peter%E2%80%93Weyl_theorem
Peter-Weyl Theorem (Wolfram MathWorld)
http://mathworld.wolfram.com/Peter-WeylTheorem.html
Peter-Weyl Theorem (Lie Group, Stanford Univ.)
http://match.stanford.edu/lie/i4_0.html
この章を理解するために必須な分野は次のとおり。
1) 関数解析：「関数解析 共立数学講座 (15)：黒田成俊
第4章の目次詳細と「要約」は次のとおり。
第4章 Peter‐Weylの定理
§4.1 Peter‐Weylの定理
(a) Peter-Weylの定理
(b) 主定理の証明の方針
(c) Parseval-Plancherelの公式
(d) 類関数
(e) Fourier級数論とPeter-Weylの定理
(f) コンパクトLie群の特徴づけ
(g) 指標による直交射影
§4.2 Peter‐Weylの定理の証明
（その1: Stone-Weierstrassの定理を用いる方法）
(a) Stone-Weierstrassの定理
(b) 行列要素による一様近似
§4.3 Peter‐Weylの定理の証明
（その2: 関数解析を用いる方法）
(a) コンパクト作用素とHilbert-Schmidt作用素
(b) L^2-完備性
(c) 積分核と積分作用素
(d) 積分作用素と一様近似
§4.4 有限群論への応用
(a) 共役類
(b) いくつかの恒等式
要約
（要約）
4.1 コンパクト群の任意の既約ユニタリ表現は有限次元である。
4.2 Peter-Weylの定理は、表現論の立場では、コンパクト群Gの両側正則表現L^2(G)の既約分解を与える定理といえる。解析の立場では、群上の関数を行列要素という「良い関数」によって展開する（L^2-収束、一様近似など）定理といえる。
4.3 コンパクト群GがLie群になるための必要十分条件はGが行列群の部分群として実現されることである。
4.4 Gがトーラスの場合には、行列要素はexp(√-1 nt)に対応し、Peter-Weylの定理は古典的なFourier級数論に他ならない。
4.5 （用語）正則表現、Peter-Weylの定理、Parseval-Plancherel型の定理、行列要素、*-環構造、指標による射影、Stone-Weierstrassの定理、コンパクト作用素のスペクトラム、有限群のBurnsideの定理
「リー群と表現論：小林俊行、大島利雄」
関連記事：
読み始めた。：リー群と表現論：小林俊行、大島利雄
https://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/6f89fddb08dc3141e6753249891523b9
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「リー群と表現論：小林俊行、大島利雄」
まえがき
理論の概要と目標
第1章 位相群の表現
§1.1 位相群
§1.2 位相群の表現
§1.3 種々の表現を構成する操作
§1.4 Hilbertの第5問題
第2章 Fourier解析と表現論
§2.1 Fourier級数
§2.2 Fourier変換とアファイン変換群
第3章 行列要素と不変測度
§3.1 行列要素
§3.2 群上の不変測度
§3.3 Schurの直交関係式
§3.4 指標
第4章 Peter‐Weylの定理
§4.1 Peter‐Weylの定理
§4.2 Peter‐Weylの定理の証明
（その1: Stone-Weierstrassの定理を用いる方法）
§4.3 Peter‐Weylの定理の証明
（その2: 関数解析を用いる方法）
§4.4 有限群論への応用
第5章 Lie群とLie環
§5.1 Lie群
§5.2 行列の指数関数
§5.3 Lie環
§5.4 Lie群とLie環の例
§5.5 Lie群の解析性
§5.6 Lie群とLie環の対応
第6章 Lie群と等質空間の構造
§6.1 普遍被覆群
§6.2 複素Lie群
§6.3 等質空間
§6.4 Lie群上の積分
§6.5 コンパクトLie群
第7章 古典群と種々の等質空間
§7.1 いろいろな古典群
§7.2 Clifford代数とスピノル群
§7.3 等質空間の例1: 球面の種々の表示
§7.4 等質空間の例2: SL（2,R）の等質空間
第8章 ユニタリ群U (n)の表現論
§8.1 Weylの積分公式
§8.2 極大トーラス上の対称式と交代式
§8.3 U (n)の有限次元既約表現の分類と指標公式
第9章 古典群の表現論
§9.1 古典群のルート系とWeylの積分公式
§9.2 Weyl群の不変式と交代式
§9.3 有限次元既約表現の分類と指標公式
第10章 ファイバー束と群作用
§10.1 ファイバー束と切断
§10.2 ベクトル束と主ファイバー束
§10.3 主束に同伴するファイバー束
§10.4 群作用と切断
§10.5 G -不変な切断
第11章 誘導表現と無限次元ユニタリ表現
§11.1 Frobeniusの相互律
§11.2 無限次元表現の構成
第12章 Weylのユニタリ・トリック
§12.1 複素化と実形
§12.2 Weylのユニタリ・トリック
§12.3 等質空間におけるユニタリ・トリック
第13章 Borel‐Weil理論
§13.1 旗多様体
§13.2 Borel‐Weilの定理
§13.3 Borel‐Weilの定理の証明
§13.4 Borel‐Weilの定理の一般化
現代数学への展望
参考文献
演習問題解答
索引
この章のテーマでのPeter‐Weylの定理は本書前半の山場である。ちょうど50ページあり、全体の理解度は90パーセントほどだった。まだまだいける。
この章ではPeter-Weylの定理が多角的な立場で解説される。具体的には、正則表現L^2(G)の既約分解、行列要素による連続関数の一様近似定理、L^2ノルムに関するParseval-Plancherel型の公式、Fourier変換と逆Fourier変換に対応する変換の明示公式、*-環としての代数構造などの側面からPeter-Weylの定理を掘り下げる。
さらにPeyter-Weylの定理を応用して「コンパクト群がLie群の構造をもつための必要十分条件はそれがGL(n,R)の部分群として実現できることである」という定理を証明する。また、有限群はコンパクト群の特別な場合であるからPeter-Weylの定理が成り立つ。その応用例としてBurnsideの定理などの有限群論の定理を証明している。
Peter-Weylの定理の証明法としては、Stone-Weierstrassによる多項式近似定理を使う方法（$4.2）とコンパクト作用素のスペクトル分解を用いる方法（$4.3）の２種類の証明法が解説されている。
Peter-Weyl Theorem (Wikipedia)
https://en.wikipedia.org/wiki/Peter%E2%80%93Weyl_theorem
Peter-Weyl Theorem (Wolfram MathWorld)
http://mathworld.wolfram.com/Peter-WeylTheorem.html
Peter-Weyl Theorem (Lie Group, Stanford Univ.)
http://match.stanford.edu/lie/i4_0.html
この章を理解するために必須な分野は次のとおり。
1) 関数解析：「関数解析 共立数学講座 (15)：黒田成俊
第4章の目次詳細と「要約」は次のとおり。
第4章 Peter‐Weylの定理
§4.1 Peter‐Weylの定理
(a) Peter-Weylの定理
(b) 主定理の証明の方針
(c) Parseval-Plancherelの公式
(d) 類関数
(e) Fourier級数論とPeter-Weylの定理
(f) コンパクトLie群の特徴づけ
(g) 指標による直交射影
§4.2 Peter‐Weylの定理の証明
（その1: Stone-Weierstrassの定理を用いる方法）
(a) Stone-Weierstrassの定理
(b) 行列要素による一様近似
§4.3 Peter‐Weylの定理の証明
（その2: 関数解析を用いる方法）
(a) コンパクト作用素とHilbert-Schmidt作用素
(b) L^2-完備性
(c) 積分核と積分作用素
(d) 積分作用素と一様近似
§4.4 有限群論への応用
(a) 共役類
(b) いくつかの恒等式
要約
（要約）
4.1 コンパクト群の任意の既約ユニタリ表現は有限次元である。
4.2 Peter-Weylの定理は、表現論の立場では、コンパクト群Gの両側正則表現L^2(G)の既約分解を与える定理といえる。解析の立場では、群上の関数を行列要素という「良い関数」によって展開する（L^2-収束、一様近似など）定理といえる。
4.3 コンパクト群GがLie群になるための必要十分条件はGが行列群の部分群として実現されることである。
4.4 Gがトーラスの場合には、行列要素はexp(√-1 nt)に対応し、Peter-Weylの定理は古典的なFourier級数論に他ならない。
4.5 （用語）正則表現、Peter-Weylの定理、Parseval-Plancherel型の定理、行列要素、*-環構造、指標による射影、Stone-Weierstrassの定理、コンパクト作用素のスペクトラム、有限群のBurnsideの定理
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関連記事：
読み始めた。：リー群と表現論：小林俊行、大島利雄
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まえがき
理論の概要と目標
第1章 位相群の表現
§1.1 位相群
§1.2 位相群の表現
§1.3 種々の表現を構成する操作
§1.4 Hilbertの第5問題
第2章 Fourier解析と表現論
§2.1 Fourier級数
§2.2 Fourier変換とアファイン変換群
第3章 行列要素と不変測度
§3.1 行列要素
§3.2 群上の不変測度
§3.3 Schurの直交関係式
§3.4 指標
第4章 Peter‐Weylの定理
§4.1 Peter‐Weylの定理
§4.2 Peter‐Weylの定理の証明
（その1: Stone-Weierstrassの定理を用いる方法）
§4.3 Peter‐Weylの定理の証明
（その2: 関数解析を用いる方法）
§4.4 有限群論への応用
第5章 Lie群とLie環
§5.1 Lie群
§5.2 行列の指数関数
§5.3 Lie環
§5.4 Lie群とLie環の例
§5.5 Lie群の解析性
§5.6 Lie群とLie環の対応
第6章 Lie群と等質空間の構造
§6.1 普遍被覆群
§6.2 複素Lie群
§6.3 等質空間
§6.4 Lie群上の積分
§6.5 コンパクトLie群
第7章 古典群と種々の等質空間
§7.1 いろいろな古典群
§7.2 Clifford代数とスピノル群
§7.3 等質空間の例1: 球面の種々の表示
§7.4 等質空間の例2: SL（2,R）の等質空間
第8章 ユニタリ群U (n)の表現論
§8.1 Weylの積分公式
§8.2 極大トーラス上の対称式と交代式
§8.3 U (n)の有限次元既約表現の分類と指標公式
第9章 古典群の表現論
§9.1 古典群のルート系とWeylの積分公式
§9.2 Weyl群の不変式と交代式
§9.3 有限次元既約表現の分類と指標公式
第10章 ファイバー束と群作用
§10.1 ファイバー束と切断
§10.2 ベクトル束と主ファイバー束
§10.3 主束に同伴するファイバー束
§10.4 群作用と切断
§10.5 G -不変な切断
第11章 誘導表現と無限次元ユニタリ表現
§11.1 Frobeniusの相互律
§11.2 無限次元表現の構成
第12章 Weylのユニタリ・トリック
§12.1 複素化と実形
§12.2 Weylのユニタリ・トリック
§12.3 等質空間におけるユニタリ・トリック
第13章 Borel‐Weil理論
§13.1 旗多様体
§13.2 Borel‐Weilの定理
§13.3 Borel‐Weilの定理の証明
§13.4 Borel‐Weilの定理の一般化
現代数学への展望
参考文献
演習問題解答
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