星光１６

「 船が川の下流のＡ地点から４８km上流のＢ地点まで行くのにいつもは６時間かかります。ある日、エンジンが途中で３０分動かなくなったので、Ａ地点からＢ地点まで行くのに６時間３９分かかりました。ただし、船の静水での速さと川の流れの速さはそれぞれ一定とします。
（１）川の流れの速さは時速何kmですか、求め方と答えを書きなさい。
（２）いつもはＡ地点とＢ地点を往復するのに何時間何分かかりますか。 」2002

（１）船がＡ地点からＢ地点までの４８ｋｍを上るのに６時間かかるということは、上りの速さは時速８ｋｍ。

「エンジンが途中で３０分動かなくなった」ということは、その間、川の流れの速さにより、下流へと流されていたと考えることができる。

そして、Ａ地点からＢ地点まで行くのに６時間３９分かかり、流されていただけの時間が３０分あれば、実際に上った時間は６時間９分である。いつもは６時間で上るとすると、余分に９分かかったことになる。とすると、船は流されていた３０分の距離を９分で上った。同じ距離を３０分か９分かで移動した速さの比は逆比となり、つまり、川の流れの速さと上りの速さの比は、９：３０（３：１０）。

上りの速さは時速８ｋｍなので、その３／１０が川の流れの速さであり、時速２．４ｋｍ（答え）

（２）船が、川を、

上る速さとは、（船の速さ）ー（川の流れの速さ）であり、

下る速さとは、（船の速さ）＋（川の流れの速さ）である。

いつも、どこの中学入試算数問題でも。

上りの速さが時速８ｋｍで、川の流れの速さが時速２．４ｋｍであれば、船の速さは時速１０．４ｋｍ。とすると、下りの速さは、１０．４ ＋ ２．４となり、時速１２．８ｋｍ。

４８（AB間の距離） ÷ １２．８（下りの速さ）

＝４８０／１２８

＝１５／４（時間）

６０倍すると、２２５分。つまり、下りにかかる時間は３時間４５分。

上りに６時間かかるので、上りと下りを合わせた往復時間は９時間４５分（答え）

コレは、とても良い問題。感心させられたわ。正答のみならず、採点者の納得のゆく説明も必要だ。

当然のことながら、まず、問題文を読めなくては解けない。たとえば、「エンジンが途中で３０分動かなくなった 」といっても、船が止まっているわけではない。流されていること、そこに純然たる川の流れ（の速さ）が働いていることをその言外で理解しなくては解けない。

さっきの女子学院の素数を扱わせる論理問題も手厳しく難しかったでしょう。

星光１５

「 昨日、機械を一定の速さで動かして、ある仕事を仕上げるのに１２時間かかりました。今日も同じ仕事をその機械で、仕事の半分を昨日の速さの４/３で、残りの半分を昨日の速さの２/３ですると、仕上げるのにかかる時間は昨日より何時間多くかかりますか。求め方と答えを書きなさい。 」1999

（昨日の）＜機械＞の１時間あたりの生産性を１／１２とします

今日、仕事を仕上げるのかかった時間は、

１／２  ÷（１／１２ × ４／３）  ＋  １／２ ÷（ １／１２ × ２／３）

＝ １／２ ÷ １／９　＋　１／２ ÷ １／１８

＝９／２ ＋９

＝２７／２

＝１３．５時間

１３．５ ー １２ （昨日、仕事仕上げるのにかかった時間）＝ １．５時間（答え）

なかなかええ問題やな

星光１４

「 １から９までの数が書かれたカードが１枚ずつ、計９枚あります。この中から３枚選び、それらの和をAとします。
（１）Aが２で割り切れるような選び方は何通りありますか。
（２）Aが３で割り切れるような選び方は何通りありますか。　」　2021

フムフム

（１）３つの和が２で割り切れるのは、全部３枚とも偶数のカード、あるいは、２枚だけ奇数のカードの場合。これを探そう。

偶偶偶では、２、４、６、８ の４枚。うち、３枚のカードでは４通り。

奇奇では、１、３、５、７、９の５枚なので、５×４で２０、その半分となるので１０通り。偶数のカードが４枚あるので、１０×４で４０通り。

合わせて、４４通り（答え）


（２）まず、２つたして、３の倍数になる組み合わせを探す。つまり、その組み合わせに 3⃣ 6⃣ 9⃣ のいずれかをたすせばどれも必ず３の倍数になる。

1⃣ 2⃣ 4⃣ 5⃣ 7⃣ 8⃣ から探そう。

1⃣ 2⃣、1⃣ 5⃣、1⃣ 8⃣

2⃣ 4⃣、2⃣ 7⃣

4⃣ 5⃣、4⃣ 8⃣

5⃣ 7⃣

7⃣ 8⃣

以上、９通り。上記の組み合わせに 3⃣ 6⃣ 9⃣ がはいるので、９かける３で２７通り。

次に、3⃣ 6⃣ 9⃣

そして、1⃣ 2⃣ 4⃣ 5⃣ 7⃣ 8⃣ だけで構成する、1⃣ 4⃣ 7⃣ と 2⃣ 5⃣ 8⃣ も。

合計３０通り（答え）

ところで、A  ＋（ A ＋ ３）＋（ A ＋６）では、

３ ×  A  ＋９ となり、必ず３の倍数になる。

つまり、差が３で連続する３つの整数は必ず３で割り切れる。ちょっとした数の性質かな。

ーーーーー

塾の先生の方法は、

３で割ったあまりが、
０ グループＡ： 3⃣　6⃣　9⃣

１ グループＢ： 1⃣　4⃣　7⃣
２ グループＣ： 2⃣　5⃣　8⃣

フムフム

ＡＢＣから１枚ずつ選んだ組み合わせの合計は必ず３で割り切れるというものだった。

なるほど、スマートですな。魔法陣やん。たとえば、タテあるいはナナメの合計を３で割ると、あまりが３だということでしょう。結局それは３で割り切れることに他ならない。
３・３・３ で２７。Ａ 3⃣ 6⃣ 9⃣、Ｂ 1⃣ 4⃣ 7⃣、Ｃ 2⃣ 5⃣ 8⃣ 合わせて３０通りか。マイッタ💦

星光１３

１ー１÷ [１＋１÷｛１＋１÷（１＋１）＋１｝＋１] ＋１ は？

2009

悩ましいのぉ。まぁ、暗算でいってみようか

第１の括弧内、１＋１は２、

第２の括弧内、１わる２は、２分の１、たす１たす１で、２分の５

第３の括弧内、１わる２分の５は、５分の２，たす１たす１で、５分の１２

シールドが解除されました

打て！言い当てよ！

１わる５分の１２は、１２分の５。１たす１からひくことの１２分の５は、

１９／１２（答え）

星光１２

「 太郎君はお年玉を８０００円もらいました。この８０００円で、２４０円のおかしと５７０円のおもちゃをどちらも１個以上買って、できるだけおつりを少なくするようにしたいと考えました。
（１）おつりがないように買うことはできないことを説明しなさい。
（２）最も少ないおつりは▢円で、それは、おかしを▢個、おもちゃを▢個買ったときです。▢にあてはまる数をもとめなさい。 」 2019

（２）からいってみようか

２４０と５７０で割り切れる数で、８０００に近い最も近い数は、２４０と５７０の最大公約数３０でも必ず割り切れるはず。

とすると、８０００わる３０は、２６６あまり２０。つまり、７９８０円で、おつりは２０円。この線でいこう。

２４０と５７０の最小公倍数は、３０かける８かける１９で、４５６０。

７９８０ひく４５６０は、３４２０。

ひとまず、

３４２０÷２４０＝１４．２５（コンマがついた）

３４２０÷５７０＝６（割り切れた）

見えたな

４５６０わる２４０は、１９。

最も少ないおつりは２０円で、それは、おかしを１９個、おもちゃを６個買ったときです（答え）

で、（１）解きながら思いついた

「８０００円は、２４０円と５７０円とを約す３０円で割り切れないので」（答え）

塾の先生の模範解答では、単に８０００が３の倍数ではないからとあった。確かに、数の性質的にいえばそうかも知れないが、設問は１０円単位のお話しでしょう。私の言い逃れも正解（笑）

おはよう

星光１１

2020

うわぁ、めちゃくちゃややこしそうで、逃げ出したなったわ💦

まぁ、思いついたけどね。

分子が１の場合は、ある数の逆数であると考えることができる。本設問に対する思考はいつもよく使う手の裏側の思考みたいな感じかな。

たとえば、１０の逆数といえば、１／１０や。こういうのは頻繁。速度と時間の関係でよく使う手。たとえば、速度１０、速度２０では到達する時間の比は、１／１０：１／２０やろ。つまり、コンマ１とコンマ０５。

言い換えれば、その数にかけて１になるのが逆数や。

つまり、５／７では、７／５。

ではでは、願いましては～

ちょっと説明がわるいかな。自分ではサササッとできてもそれを客観的に説明するのはホント難しいね。これをササっとやる小学生はかなり計算高いと思うわ。したたかなはずだ。

そして、説明、教え方のうまい人って素晴らしい。あこがれるわ。

星光１０

「４桁の整数のうち、＜２０２０＞のように、ちょうど２種類の数字が２個ずつ使われているものは何個ありますか。ただし、千の位が０のものは４桁の整数には含めません。」 2020

ウムム

たとえば、９を頭に使って考えてみようか

①９〇９〇 ②９〇〇９ ③９９〇〇 の３ブロック。〇に入るのは、０から８までの９とおり。３ブロックで計２７個。 頭に０はＮＧなので、頭にくるのは１から９までの９通り。２７個が９とおりで、合計２４３個（答え）

こんな感じかなぁ

頭を９倍しているので、①裏〇９〇９ ②裏〇９９〇 ③裏〇〇９９ を検討する必要などないはずだ。

星光９

2014

ウムム

ここまでくると、あとは、

AB：AD＝EB：EC

そして、ＡＤが４ｃｍ、ＣＥは７ｃｍ。△ＥＡＣは二等辺三角形だったので、ＡＥも７ｃｍ。とすると、

AB：４ ＝（AB ＋ ７）：７が成り立ち、

４ＡＢ ＋ ２８ ＝ ７ＡＢとなり、

３ＡＢ ＝ ２８

つまり、ＡＢは２８／３ ｃｍ（答え）

星光８

「長さ１００ｍの電車Ａは、トンネルＰに入ってから抜けるのに５０秒かかります。長さ８０ｍの電車Ｂは、トンネルＱに入ってから抜けるのに７４秒かかります。トンネルＱの長さは、トンネルＰの長さの２倍で、電車Ａの速さは電車Ｂの速さの ０．８倍です。
（１）電車Ａの速さは秒速何ｍですか。
（２）トンネルＰの長さは何ｍですか。 」　2008

フム

電車Ａの速さは電車Ｂの速さの ０．８倍ということは、電車Bの速さは電車Aの速さの１．２５倍な

（１）電車Aの秒速をAｍ、トンネルPの長さをPmとすると、

（１００＋Ｐ）÷ Ａ＝５０
（８０＋２Ｐ）÷ １．２５Ａ＝７４

が成り立つ

５０ ×  A  ＝ １００ ＋ Ｐ 　→　　　　  　１００ ×  A  ＝ ２００ ＋２Ｐ

７４ × １．２５Ａ ＝ ８０ ＋ ２Ｐ　→　９２．５ ×  A  ＝ 　８０ ＋２Ｐ

したがって、７．５ ×  A  ＝ １２０

A  ＝１６ｍ／秒 （答え）

（２）５０ ×  A  ＝ １００ ＋ Ｐ について、Aが１６なので、Pの長さは、

５０ ×  １６  ＝ １００ ＋ Ｐ となり、P は７００ｍ（答え）

星光７

2007

△ABE と△BCE の面積の比は、３：１
ということは、AE：EC は、３：１。そして、AC は ４。

△ADF と△DEF の面積は等しいので、AD：DE は、１：１
AE は３なので、DE は、１．５

したがって、AC：DE は、４：１．５
つまり、８：３（答え）

おはよう