超自然数は超現順序数とはかくも異なる(Ⅰ)

事柄の都合上としてどちらも同じ文字ωを使わせてもらうが、超現順序数ωを可算濃度だと伺った時には「おやっ？」と不審を抱いたもんだった・・。

それは私としてはそれよりも先に、カントールの対角線論法による実数の非可算性の証明において、その最初の非可附番数をωと書いてある書物で学んだからだが、そんな事では「ωを１として数え直す、それをくり返す」という手段によって実数は可算だという証明ができてしまうではないかと思ってしまうじゃないか。それが超現順序数という試みの世界において妥当な定義とされた話だというのは最近になって分かったのであるが、それはようするにカントールが精神を病んでしまってそのまま精神病院で亡くなったという悲劇を避ける目的でもあったのだろうか。

ところがところがω算というのはカントール自身が発案した物であったらしいｗ）

師匠クロネッカーの教えに背いた罰だとでも思って救いを求めて数え直しを図ったのだろうか、それは「子弟ともに馬鹿だった」という喜悲劇だけが残るように私などには思える。クロネッカーはクロネッカーのデルタなどのように純粋数学の分野においてそれなりの業績を持っていたが、その数え主義とも評される教育姿勢には常に非難の矢が向けられたのである。今の世の中だともっと鮮明にワカルのが、流れ算(アルゴリズム)に代表されるようなコンピュータに任せればいいような計算は「数学ではなくて算術である」と酷評されたという話だ。そりゃーそーだろー、そんな計算など人さまから教わる必要などなく、そこの壁に手順さえ貼り付けておいてくれれば誰でも仕事として計算できるじゃないか。

だからカントールの業績の評価を対角線論法までは正しいとした場合に、正しくはωという超自然数は非可附番数であるがために非可算だという結論が得られる！

無限大を意味するωの後を数え続けるという行為はペアノ公理によってはならない訳だ・・。

ここで大ガウスの存在に気が付いたとしようか、そこには非ユークリッド幾何学との格闘にあたって解決の糸口となったトローペ(無限大半径の円を意味する)の存在が無限大の世界との接点となっており、その無限大半径の円と直線との幾何学だけでは済まない「ある意味の整数論的な違い」に眼を見開く思いがするのであった。

半径が無限大であってみれば曲率は無限小だから標準的な数の世界では０と同一視してかまわないとされている、０と同一視してかまわないのだったら有限の世界では直線と区別がつかないはずであり、クラインなどはトローペの中心に観測者を置いたような模型を造ってみせてトローペにあたる部分を無限遠直線と定義した。だが無限大半径の円という概念には一つ著しい発想の違いが(整数論などのような他の類の無限を扱う数学と比べた場合に)存在してしまうことには誰も気が付かなかったのではないか。

たとえ半径が無限大であったとしても円であるのだったら半径と直径とは大きく質的に異なるのじゃないか？

超自然数ωは非可附番数であるがゆえに自然数集合に対応する数を持たないが、すなわち非常に大きな数(内部集合論では無量大数となる)とはまた異なるが、だからこそ真の無限大を表現し得ているのであるから、ここでトローペの半径として用いるのはふさわしいだろう。す、すると、なんとしたことか、今までの常識では無限というのは自然数全体の集合とその真部分集合である偶数の集合とが濃度が一致するのが当然だったが、ここでは半径ωに対して直径は２ωになることからω＜２ωとなる。もちろん、この実例こそが可算濃度集合と無限との違いといってもいいだろうが、ちょっとした言語の交錯にくらくらっとする。

果たして可算濃度の集合というのは無限大の大きさを持っているのだろうか、と気になってくるだろ？

そこで私は自然数集合を可算無限ではなくて可延長有限だとし、無理数の桁数などを最初の無限だと考えるように変わった・・。

自然数濃度に対して実数濃度がその冪だというこれまでの常識はこうして崩壊することになるじゃないか？

「自然数濃度というのは実数の桁数(は超自然数ωである)よりも小さかった」のである・・。

もちろん対角線論法とそこからの展開により、ωに対して１を加えたり自然数ｎを足し合わせたりすることには何の意味もなく、超自然数公理として新しく構成されるであろう超自然数列は｛ω・２ω・３ω・・・ｎω・・・｝といった類の数列として表記されることになる。