算額（その943）
宮城県大崎市岩出（旧岩出山町; 注） 八幡神社 大正3年()
「算額」第四集 全国調査，香川県算額研究会
注：現大崎市岩出には大崎八幡神社，古館八幡神社，鍋倉山八幡神社，八幡神社がある。
楕円内に菱形，その中に大円 2 個，小円 2 個が入っている。楕円の長径，短径，大円の直径を与えたとき，小円の直径を求めよ。
算額（その669）の菱形の外接楕円をお飾りで余分に加えたものである。
もともとの「問」では，楕円の長径，短径，大円の直径の 3 条件が与えられることになっているが，それでは条件が過剰である。長径，短径を与えて大円，小円の直径を求めよという問題にしなければならない。
楕円の長半径，短半径を a, b
大円の半径と中心座標を r1, (0, r1)
小円の半径と中心座標を r2, (x2, r2)
とおき，以下の連立方程式を解く。
include("julia-source.txt");
@syms a::positive, b::positive, r1::positive,
r2::positive, x2::positive, c
c = sqrt(a^2 + b^2) # コメントのままにしておくこと
eq1 = r1/(b - r1) - a/c
eq2 = r2/(a - x2) - b/c
eq3 = r1^2 + x2^2 - (r1 + r2)^2
res = solve([eq1, eq2, eq3], (r1, r2, x2))[1] # 1 of 2
(a*b/(a + c), a*b*(-a*c - b^2 + b*sqrt(a^2 + 4*a*c + b^2 + 3*c^2) - c^2)/(a*b^2 - a*c^2 + b^2*c - c^3), a*b*(a*b + 2*b*c - c*sqrt(a^2 + 4*a*c + b^2 + 3*c^2))/(a*b^2 - a*c^2 + b^2*c - c^3))
大円の半径は短い式で表すことができるが，小円の半径径の式は長い。
楕円の長径，短径が 288, 84 (a = 144, b = 42) のとき，小円の直径 2r2 は 56.0 である。
a = 288/2
b = 84/2
c = sqrt(a^2 + b^2)
a*b*(-a*c - b^2 + b*sqrt(a^2 + 4*a*c + b^2 + 3*c^2) - c^2)/(a*b^2 - a*c^2 + b^2*c - c^3)
28.0
その他のパラメータは以下のとおりである。
a = 144; b = 42; r1 = 20.5714; r2 = 28; x2 = 44
function draw(more=false)
pyplot(size=(600, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
(a, b) = (288, 84) ./ 2
c = sqrt(a^2 + b^2)
s = sqrt(a^2 + 4*a*c + b^2 + 3*c^2)
t = a*b^2 - a*c^2 + b^2*c - c^3
(r1, r2, x2) = (
a*b/(a + c),
a*b*(-a*c - b^2 + b*s - c^2)/t,
a*b*(a*b + 2*b*c - c*s)/t)
@printf("a = %g; b = %g; r1 = %g; r2 = %g; x2 = %g\n", a, b, r1, r2, x2)
plot([a, 0, -a, 0, a], [0, b, 0, -b, 0], color=:black, lw=0.5)
ellipse(0, 0, a, b, color=:magenta)
circle22(0, r1, r1)
circle2(x2, 0, r2, :blue)
if more
delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3 # size[2] * fontsize * 2
hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
point(a, 0, " a", :magenta, :left, :bottom, delta=delta/2)
point(0, b, " b", :magenta, :left, :bottom, delta=delta/2)
point(0, r1, "大円:r1,(0,r1)", :red, :center, delta=-delta/2)
point(x2, 0, "小円:r2,(x2,r2)", :blue, :center, delta=-delta/2)
end
end;
