算額（その1142）

算額（その1142）

二五 武州妻沼 聖天宮 文政11年(1828)
埼玉県立図書館：埼玉県史料集 第二集『埼玉の算額』，昭和44年，誠美堂印刷所，埼玉県与野市.
キーワード：累円，外円

大円の中に等円 3 個を容れ，甲円から始まり，乙円，丙円，...，己円，... を容れる。
等円の直径が 3.5 寸のとき，己円の直径はいかほどか。

等円の半径と中心座標を r, (0, r), (0, 0), (0, -r)
大円の半径と中心座標を 3r, (0, 0)
中円の半径と中心座標を 2r, (0, r)
甲円の半径と中心座標を r1, (x1, y1)
乙円の半径と中心座標を r2, (x2, y2)
:
とおき以下の連立方程式を解く。

まず，甲円について，r1, x1, y1 を求める。

include("julia-source.txt")

using SymPy

@syms r::positive, r1::positive, x1::positive,　y1::negative
r = 3.5/2
eq1 = x1^2 + y1^2 - (3r - r1)^2
eq2 = x1^2 + (r - y1)^2 - (2r + r1)^2
eq3 = x1^2 + (y1 + 2r)^2 - (r + r1)^2
res = solve([eq1, eq2, eq3], (r1, x1, y1))[1]

   (1.50000000000000, 3.00000000000000, -2.25000000000000)

大円，中円，等円，甲円の内接・外接関係は大円，中円，甲円，丙円と同じである。
丙円の半径，中心位置を求める連立方程式は先程の連立方程式の変数を変更して解く。

まずは計算を float 変数で行う方法について述べる。

@syms r::real, r1::real, x1::real, y1::real, r2::real, x2::real, y2::real
#(r1, x1, y1) = (arg_r1, arg_x1, arg_y1)
eq4 = x2^2 + y2^2 - (3r - r2)^2
eq5 = x2^2 + (r - y2)^2 - (2r + r2)^2
eq6 = (x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 - (r1 + r2)^2
res = solve([eq4, eq5, eq6], (r2, x2, y2))[1]

   ((27*r^3 + 9*r^2*r1 - 63*r^2*y1 - 3*r*r1^2 - 6*r*r1*y1 + 27*r*x1^2 + 33*r*y1^2 - r1^3 + 5*r1^2*y1 + r1*x1^2 + r1*y1^2 - 5*x1^2*y1 - 2*sqrt(6)*x1*sqrt(-27*r^4 + 18*r^3*r1 - 18*r^3*y1 + 12*r^2*r1^2 - 12*r^2*r1*y1 + 12*r^2*x1^2 + 12*r^2*y1^2 - 2*r*r1^3 - 2*r*r1^2*y1 + 2*r*r1*x1^2 + 2*r*r1*y1^2 + 2*r*x1^2*y1 + 2*r*y1^3 - r1^4 + 2*r1^2*x1^2 + 2*r1^2*y1^2 - x1^4 - 2*x1^2*y1^2 - y1^4) - 5*y1^3)/(2*(9*r^2 + 6*r*r1 - 30*r*y1 + r1^2 - 10*r1*y1 + 24*x1^2 + 25*y1^2)), (72*r^2*x1 - 12*r*r1*x1 - 12*r*x1*y1 + 3*sqrt(6)*r*sqrt(-27*r^4 + 18*r^3*r1 - 18*r^3*y1 + 12*r^2*r1^2 - 12*r^2*r1*y1 + 12*r^2*x1^2 + 12*r^2*y1^2 - 2*r*r1^3 - 2*r*r1^2*y1 + 2*r*r1*x1^2 + 2*r*r1*y1^2 + 2*r*x1^2*y1 + 2*r*y1^3 - r1^4 + 2*r1^2*x1^2 + 2*r1^2*y1^2 - x1^4 - 2*x1^2*y1^2 - y1^4) - 12*r1^2*x1 + sqrt(6)*r1*sqrt(-27*r^4 + 18*r^3*r1 - 18*r^3*y1 + 12*r^2*r1^2 - 12*r^2*r1*y1 + 12*r^2*x1^2 + 12*r^2*y1^2 - 2*r*r1^3 - 2*r*r1^2*y1 + 2*r*r1*x1^2 + 2*r*r1*y1^2 + 2*r*x1^2*y1 + 2*r*y1^3 - r1^4 + 2*r1^2*x1^2 + 2*r1^2*y1^2 - x1^4 - 2*x1^2*y1^2 - y1^4) + 12*x1^3 + 12*x1*y1^2 - 5*sqrt(6)*y1*sqrt(-27*r^4 + 18*r^3*r1 - 18*r^3*y1 + 12*r^2*r1^2 - 12*r^2*r1*y1 + 12*r^2*x1^2 + 12*r^2*y1^2 - 2*r*r1^3 - 2*r*r1^2*y1 + 2*r*r1*x1^2 + 2*r*r1*y1^2 + 2*r*x1^2*y1 + 2*r*y1^3 - r1^4 + 2*r1^2*x1^2 + 2*r1^2*y1^2 - x1^4 - 2*x1^2*y1^2 - y1^4))/(9*r^2 + 6*r*r1 - 30*r*y1 + r1^2 - 10*r1*y1 + 24*x1^2 + 25*y1^2), 5*sqrt(6)*x1*sqrt(-(-9*r^2 - 6*r*r1 - r1^2 + x1^2 + y1^2)*(-3*r^2 + 4*r*r1 - 2*r*y1 - r1^2 + x1^2 + y1^2))/(9*r^2 + 6*r*r1 - 30*r*y1 + r1^2 - 10*r1*y1 + 24*x1^2 + 25*y1^2) + (-81*r^3 - 9*r^2*r1 + 135*r^2*y1 + 21*r*r1^2 - 30*r*r1*y1 + 9*r*x1^2 - 15*r*y1^2 + 5*r1^3 - 25*r1^2*y1 - 5*r1*x1^2 - 5*r1*y1^2 + 25*x1^2*y1 + 25*y1^3)/(2*(9*r^2 + 6*r*r1 - 30*r*y1 + r1^2 - 10*r1*y1 + 24*x1^2 + 25*y1^2)))

これを関数として定義する。関数は，現在の円の半径と中心位置を与えれば次の円の半径と中心位置を返す。返された結果を関数に与えれば，更に次の円の半径と中心位置を返す。これを繰り返す。

この方法の利点は，関数内部の変数は普通の float 変数なので，計算時間が短い。
欠点は，関数定義が長い。

r = 3.5/2
nextcircle2(r1, x1, y1) = (((27*r^3 + 9*r^2*r1 - 63*r^2*y1 - 3*r*r1^2 - 6*r*r1*y1 + 27*r*x1^2 + 33*r*y1^2 - r1^3 + 5*r1^2*y1 + r1*x1^2 + r1*y1^2 - 5*x1^2*y1 - 2*sqrt(6)*x1*sqrt(-27*r^4 + 18*r^3*r1 - 18*r^3*y1 + 12*r^2*r1^2 - 12*r^2*r1*y1 + 12*r^2*x1^2 + 12*r^2*y1^2 - 2*r*r1^3 - 2*r*r1^2*y1 + 2*r*r1*x1^2 + 2*r*r1*y1^2 + 2*r*x1^2*y1 + 2*r*y1^3 - r1^4 + 2*r1^2*x1^2 + 2*r1^2*y1^2 - x1^4 - 2*x1^2*y1^2 - y1^4) - 5*y1^3)/(2*(9*r^2 + 6*r*r1 - 30*r*y1 + r1^2 - 10*r1*y1 + 24*x1^2 + 25*y1^2)), (72*r^2*x1 - 12*r*r1*x1 - 12*r*x1*y1 + 3*sqrt(6)*r*sqrt(-27*r^4 + 18*r^3*r1 - 18*r^3*y1 + 12*r^2*r1^2 - 12*r^2*r1*y1 + 12*r^2*x1^2 + 12*r^2*y1^2 - 2*r*r1^3 - 2*r*r1^2*y1 + 2*r*r1*x1^2 + 2*r*r1*y1^2 + 2*r*x1^2*y1 + 2*r*y1^3 - r1^4 + 2*r1^2*x1^2 + 2*r1^2*y1^2 - x1^4 - 2*x1^2*y1^2 - y1^4) - 12*r1^2*x1 + sqrt(6)*r1*sqrt(-27*r^4 + 18*r^3*r1 - 18*r^3*y1 + 12*r^2*r1^2 - 12*r^2*r1*y1 + 12*r^2*x1^2 + 12*r^2*y1^2 - 2*r*r1^3 - 2*r*r1^2*y1 + 2*r*r1*x1^2 + 2*r*r1*y1^2 + 2*r*x1^2*y1 + 2*r*y1^3 - r1^4 + 2*r1^2*x1^2 + 2*r1^2*y1^2 - x1^4 - 2*x1^2*y1^2 - y1^4) + 12*x1^3 + 12*x1*y1^2 - 5*sqrt(6)*y1*sqrt(-27*r^4 + 18*r^3*r1 - 18*r^3*y1 + 12*r^2*r1^2 - 12*r^2*r1*y1 + 12*r^2*x1^2 + 12*r^2*y1^2 - 2*r*r1^3 - 2*r*r1^2*y1 + 2*r*r1*x1^2 + 2*r*r1*y1^2 + 2*r*x1^2*y1 + 2*r*y1^3 - r1^4 + 2*r1^2*x1^2 + 2*r1^2*y1^2 - x1^4 - 2*x1^2*y1^2 - y1^4))/(9*r^2 + 6*r*r1 - 30*r*y1 + r1^2 - 10*r1*y1 + 24*x1^2 + 25*y1^2), 5*sqrt(6)*x1*sqrt(-(-9*r^2 - 6*r*r1 - r1^2 + x1^2 + y1^2)*(-3*r^2 + 4*r*r1 - 2*r*y1 - r1^2 + x1^2 + y1^2))/(9*r^2 + 6*r*r1 - 30*r*y1 + r1^2 - 10*r1*y1 + 24*x1^2 + 25*y1^2) + (-81*r^3 - 9*r^2*r1 + 135*r^2*y1 + 21*r*r1^2 - 30*r*r1*y1 + 9*r*x1^2 - 15*r*y1^2 + 5*r1^3 - 25*r1^2*y1 - 5*r1*x1^2 - 5*r1*y1^2 + 25*x1^2*y1 + 25*y1^3)/(2*(9*r^2 + 6*r*r1 - 30*r*y1 + r1^2 - 10*r1*y1 + 24*x1^2 + 25*y1^2))));

nextcircle2(1.5, 3.0, -2.25)  # 乙円を求める

   (1.05, 4.2, 2.220446049250313e-16)

nextcircle2(1.05, 4.2, 0)  # 丙円を求める

   (0.7, 4.2, 1.75)

nextcircle2(0.7, 4.2, 1.75)  # 丁円を求める

   (0.47727272727272724, 3.818181818181818, 2.8636363636363633)

nextcircle2(0.47727272727272724, 3.818181818181818, 2.8636363636363633)  # 戊円を求める

   (0.3387096774193549, 3.3870967741935485, 3.5564516129032255)

nextcircle2(0.3387096774193549, 3.3870967741935485, 3.5564516129032255)  # 己円を求める

   (0.25000000000000006, 2.9999999999999996, 3.9999999999999982)

次の方法は，計算を SymPy 変数で行う方法である。毎回連立方程式を解くので，計算時間がかかる場合がある。

function nextcircle(arg_r1, arg_x1, arg_y1)
   @syms r1::real, x1::real, y1::real, r2::real, x2::real, y2::real
   (r1, x1, y1) = (arg_r1, arg_x1, arg_y1)
   eq4 = x2^2 + y2^2 - (3r - r2)^2
   eq5 = x2^2 + (r - y2)^2 - (2r + r2)^2
   eq6 = (x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 - (r1 + r2)^2
   res = solve([eq4, eq5, eq6], (r2, x2, y2))[1]
end;

nextcircle(1.5, 3.0, -2.25)  # 乙円を求める

   (1.05000000000000, 4.20000000000000, 0.0)

nextcircle(1.05000000000000, 4.20000000000000, 0.0)  # 丙円を求める

   (0.700000000000000, 4.20000000000000, 1.75000000000000)

nextcircle(0.700000000000000, 4.20000000000000, 1.75000000000000)  # 丁円を求める

   (0.477272727272727, 3.81818181818182, 2.86363636363636)

nextcircle(0.477272727272727, 3.81818181818182, 2.86363636363636)  # 戊円を求める

   (0.338709677419356, 3.38709677419355, 3.55645161290322)

nextcircle(0.338709677419356, 3.38709677419355, 3.55645161290322) # 己円を求める

   (0.250000000000001, 3.00000000000000, 4.00000000000000)

1.　デカルトの円定理を用いる方法

円の直径（半径）だけを求めるならば，デカルトの円定理を使って，累円の半径を求めてゆくことができる。
半径 r1, prev, nxt の 3 円が内接する外円の半径を R とすると，以下の式が成り立つ。

using SymPy
@syms R, r1, prev, nxt
nxtr = -1/(1/r1 + 1/prev + 1/nxt - 2sqrt(1/(r1*prev) + 1/(prev*nxt) + 1/(nxt*r1))) - R;

これを解いて nxt を求める式を得る。

result = solve(nxtr, nxt)[1]
result |> println

   (R*prev*r1*(R*prev + R*r1 - prev*r1) - 2*sqrt(-R^3*prev^3*r1^3*(-R + prev + r1)))/(R^2*prev^2 - 2*R^2*prev*r1 + R^2*r1^2 + 2*R*prev^2*r1 + 2*R*prev*r1^2 + prev^2*r1^2)

これを関数にする。この関数は，円の半径を入力すれば，その円に外接する次の円の半径を返す。

res2(prev, R, r1) = (R*prev*r1*(R*prev + R*r1 - prev*r1) - 2*sqrt(-R^3*prev^3*r1^3*(-R + prev + r1)))/(R^2*prev^2 - 2*R^2*prev*r1 + R^2*r1^2 + 2*R*prev^2*r1 + 2*R*prev*r1^2 + prev^2*r1^2);

甲円が求まった段階で，次々に関数を適用してゆく。

using SymPy

@syms r::positive, r1::positive, x1::positive,　y1::negative
r = 3.5/2
eq1 = x1^2 + y1^2 - (3r - r1)^2
eq2 = x1^2 + (r - y1)^2 - (2r + r1)^2
eq3 = x1^2 + (y1 + 2r)^2 - (r + r1)^2
res = solve([eq1, eq2, eq3], (r1, x1, y1))[1]

   (1.50000000000000, 3.00000000000000, -2.25000000000000)

r1 = 1.50000000000000  # 甲円

   1.5

nxt = res2(r1, 3r, 2r)  # 乙円

   1.05

nxt = res2(1.05, 3r, 2r)  # 丙円

   0.6999999999999997

nxt = res2(0.6999999999999997, 3r, 2r)  # 丁円

   0.47727272727272696

nxt = res2(0.47727272727272696, 3r, 2r)  # 戊円

   0.33870967741935454

nxt = res2(0.33870967741935454, 3r, 2r)  # 己円

   0.24999999999999983

nxt = res2(0.24999999999999983, 3r, 2r)  # 庚円

   0.19090909090909078

nxt = res2(0.19090909090909078, 3r, 2r)  # 辛円

   0.14999999999999988

nxt = res2(0.14999999999999988, 3r, 2r)  # 壬円

   0.12068965517241372

nxt = res2(0.12068965517241372, 3r, 2r)  # 癸円

   0.09905660377358488

各円の半径を分数表示すると，分子はどれでも 21，分母は二階等差数列である。

rationalize(1.5) |> println
rationalize(1.05) |> println
rationalize(0.699999999999999, tol=1e-8) |> println
rationalize(0.47727272727272, tol=1e-8) |> println
rationalize(0.33870967741935454, tol=1e-8) |> println
rationalize(0.25, tol=1e-8) |> println
rationalize(0.19090909090909078, tol=1e-8) |> println
rationalize(0.14999999999999988, tol=1e-8) |> println
rationalize(0.12068965517241372, tol=1e-8) |> println
rationalize(0.09905660377358488, tol=1e-8) |> println

   3//2
   21//20
   7//10
   21//44
   21//62
   1//4
   21//110
   3//20
   7//58
   21//212

甲円を 1 番目の円，乙円を 2 番目の円と数えるとき，n 番目の円の半径は 21/(12 + 2n^2) である。
己円は 6 番目の円であるから，その半径は　21/(12 + 2*6^2) = 0.25 である。

function draw(r, more=false)
    pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   string = Char["甲乙丙丁戊己庚辛壬癸"...]
   plot(showaxis=false)
   circlef(0, 0, 3r)
   circlef(0, r, 2r, :blue)
   circlef(0, 2r, r, :magenta)
   circlef(0, 0, r, :magenta)
   circlef(0, -2r, r, :magenta)
   (r1, x1, y1) = (1.5, 3.0, -2.25)
   for i = 1:10
       @printf("%2d: %.15f, %.15f, % .15f, %3d, %.15f\n", i, r1, x1, y1, 12 + 2i^2, 21/(12 + 2i^2))
       circlef(x1, y1, r1, i)
       circlef(-x1, y1, r1, i)
       i < 7 && point(x1, y1, string[i], :white, :center, :vcenter, mark=false)
       (r1, x1, y1) = nextcircle2(r1, x1, y1)
   end
   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       #hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       #vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(0, -2r, "等円", :white, :center, :vcenter, mark=false)
   end
end;