算額（その1131）

算額（その1131）

四十七 岩手県一関市平沢 平沢白山神社 慶応2年(1866)
山村善夫：現存 岩手の算額，昭和52年1月30日，熊谷印刷，盛岡市.
http://www.wasan.jp/yamamura/yamamura.html
キーワード：球4個、3次元

盤の上に甲球と乙球を 2 個ずつ置いた。その高さ（乙球のてっぺんまでの高さ）が 69 寸，甲球の直径が 46 寸のとき，乙球の直径はいかほどか。

左上は真上から，右上は x 軸方向から，下は y 軸方向から（正の方向，負の方向）の図。

甲球（赤）の半径と中心座標を r1, (r1, 0, r1)
乙球（青）の半径と中心座標を r2, (0, y2, r2), (0, y22, z2)
乙球のてっぺんまでの高さ h; h = z2 + r2
とおき，以下の連立方程式を解く。

include("julia-source.txt")

using SymPy

@syms r1::positive, y2::positive, z2::positive,
r2::positive, y22::positive, h::positive
z2 = h - r2
eq1 = (y2 - y22)^2 + (r2 - z2)^2 - 4r2^2
eq2 = r1^2 + y2^2 + (r1 - r2)^2 - (r1 + r2)^2
eq3 = r1^2 + y22^2 + (z2 - r1)^2 - (r1 + r2)^2
res = solve([eq1, eq2, eq3], (r2, y2, y22))[1] # 1 of 2

(-2*h^2*r1/(h^2 - 12*h*r1 + 4*r1^2), r1*sqrt((-h^4 + 10*h^3*r1 - 29*h^2*r1^2 + 20*h*r1^3 - 4*r1^4)/(h^2 - 12*h*r1 + 4*r1^2))*(-3*h + 2*r1)/(h^2 - 5*h*r1 + 2*r1^2), sqrt((-h^4 + 10*h^3*r1 - 29*h^2*r1^2 + 20*h*r1^3 - 4*r1^4)/(h^2 - 12*h*r1 + 4*r1^2)))

乙球の半径 r2 は 2h^2*r1/(12h*r1 - h^2 - 4r1^2) で，甲球の半径 r1 = 46/2 寸，高さ h = 69 寸のとき， 18 寸である。

その他，y2 = 33.57082066318903, y22 = 19.183326093250876 である。

r1 = 46/2
h = 69
(-2*h^2*r1/(h^2 - 12*h*r1 + 4*r1^2), r1*sqrt((-h^4 + 10*h^3*r1 - 29*h^2*r1^2 + 20*h*r1^3 - 4*r1^4)/(h^2 - 12*h*r1 + 4*r1^2))*(-3*h + 2*r1)/(h^2 - 5*h*r1 + 2*r1^2), sqrt((-h^4 + 10*h^3*r1 - 29*h^2*r1^2 + 20*h*r1^3 - 4*r1^4)/(h^2 - 12*h*r1 + 4*r1^2)))

(18.0, 33.57082066318904, 19.183326093250876)