算額（その2088）

算額（その2088）

百八 群馬県邑楽郡板倉町板倉 雷電神社 慶応3年(1867)
群馬県和算研究会:群馬の算額，上武印刷株式会社，高崎市，1987年3月31日.
キーワード：円9個

大円，中円，小円が交わってできる区画に甲円，乙円，丙円を容れる。大円，小円の直径がそれぞれ 6 寸, 3 寸のとき，丙円の直径はいかほどか。

大円の半径と中心座標を r1, (2r2, 0)
中円の半径と中心座標を r2, (r2, 0); r2 = r4 + r5
小円の半径と中心座標を r3, (0, 0)
甲円の半径と中心座標を r4, (2r2 + r4, 0), (2r5 + r4, 0); r4 = r1/2
乙円の半径と中心座標を r5, (r5, 0), (-r5, 0); r5 = r3/2
丙円の半径と中心座標を r6, (x6, y6)
とおき，以下の連立方程式を解く。

include("julia-source.txt");

using SymPy
@syms r1::positive, r2::positive, r3::positive, r4::positive,
     r5::positive, r6::positivr, x6::positive, y6::positive;
r4 = r1/2
r5 = r3/2
r2 = r4 + r5
eq1 = (2r2 - x6)^2 + y6^2 - (r1 + r6)^2
eq2 = (r2 - x6)^2 + y6^2 - (r2 - r6)^2
eq3 = x6^2 + y6^2 - (r3 + r6)^2
res = solve([eq1, eq2, eq3], (r6, x6, y6))[1]

   (r1*r3/(2*(r1 + r3)), r3*(r1^2 + 5*r1*r3 + 2*r3^2)/(2*(r1 + r3)^2), r1*r3*sqrt(r1 + 2*r3)*sqrt(2*r1 + r3)/(r1 + r3)^2)

丙円の半径 r6 は，大円と小円の半径 r1, r3 の関数で，r1*r3/2(r1 + r3) である。
大円，小円の直径がそれぞれ 6 寸, 3 寸のとき，丙円の直径は 1 寸である。

r1 = 6/2
r3 = 3/2
r6 = r1*r3/2(r1 + r3)

   0.5

全パラメータは以下のとおりである。

   r1 = 3;  r2 = 2.25;  r3 = 1.5;  r4 = 1.5;  r5 = 0.75;  r6 = 0.5;  x6 = 1.33333;  y6 = 1.49071

function draw(r1, r3, more)
    pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   r4 = r1/2
   r5 = r3/2
   r2 = r4 + r5
   (r6, x6, y6) = (r1*r3/(2*(r1 + r3)), r3*(r1^2 + 5*r1*r3 + 2*r3^2)/(2*(r1 + r3)^2), r1*r3*sqrt(r1 + 2*r3)*sqrt(2*r1 + r3)/(r1 + r3)^2)
   @printf("大円，小円の直径がそれぞれ %g, %g のとき，丙円の直径は %g である。\n", 2r1, 2r3, 2r6)
   @printf("r1 = %g;  r2 = %g;  r3 = %g;  r4 = %g;  r5 = %g;  r6 = %g;  x6 = %g;  y6 = %g\n", r1, r2, r3, r4, r5, r6, x6, y6)
   plot()
   circle(2r2, 0, r1, :green)
   circle(r2, 0, r2, :magenta)
   circle(0, 0, r3, :brown)
   circle(2r2 + r4, 0, r4)
   circle(2r5 + r4, 0, r4)
   circle2(r5, 0, r5, :blue)
   circle22(x6, y6, r6, :orange)
   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(2r2, 0, " 大円:r1,(2r2,0)", :green, :left, :bottom, delta=delta)
       point(r2, 0, "中円:r2,(2r2,0)", :magenta, :left, :bottom, delta=delta, deltax=-4delta)
       point(0, 0, "小円:r3  \n(0,0)  ", :brown, :right, :bottom, delta=delta/2)
       point(2r2 + r4, 0, "甲円:r4,(2r2+r4,0)", :red, :center, delta=-delta)
       point(2r5 + r4, 0, "甲円:r4,(2r5+r4,0)", :red, :center, delta=-delta)
       point(r5, 0, "乙円:r5\n(r5,0)", :blue, :center, delta=-delta)
       point(x6, y6, "丙円:r6,(x6,y6)", :orange, :left, :bottom, delta=delta)
   end  
end;

draw(6/2, 3/2, true)

算額（その2087）

算額（その2087）

九十三 群馬県安中市板鼻 鷹巣神社 安政5年(1858)
群馬県和算研究会:群馬の算額，上武印刷株式会社，高崎市，1987年3月31日.
キーワード：円3個，面積

大中小の 3 円が互いに接している。3 円の直径が与えられたとき，黒積（中央部分の面積）はいかほどか。

大円の半径と中心座標を r1, (0, 0)
中円の半径と中心座標を r2, (x2, y2)
小円の半径と中心座標を r3, (0, r1 + r3)
とおき，以下の連立方程式を解き，中円の中心座標を求める。

include("julia-source.txt");

using SymPy
@syms r1::positive, r2::positive, x2::positive,
     y2::positive, r3::positive;
eq1 = x2^2 + y2^2 - (r1 + r2)^2
eq2 = x2^2 + (r1 + r3 - y2)^2 - (r2 + r3)^2

res = solve([eq1, eq2], (x2, y2))[1]

   (2*sqrt(r1)*sqrt(r2)*sqrt(r3)*sqrt(r1 + r2 + r3)/(r1 + r3), (r1^2 + r1*r2 + r1*r3 - r2*r3)/(r1 + r3))

求める面積は 3 円の中心座標が構成する三角形の面積から，中心角が θ1，θ2，θ3 の 3 円の扇形の面積を差し引いたものである。

(x2, y2) = (res[1], res[2])

θ1 = atand(x2, y2)
θ2 = acosd(((r1 + r2)^2 + (r2 + r3)^2 - (r1 + r3)^2)/(2(r1 + r2)*(r2 + r3)))
θ3 = 180 - θ1 - θ2

S = (r1 + r3)*x2/2 - (r1^2*θ1 + r2^2*θ2 + r3^2*θ3)*pi/360;

大円，中円，小円の直径がそれぞれ 10 寸，6 寸，4 寸のとき，黒積は 1.41639227322922 である。

S(r1 => 10/2, r2 => 6/2, r3 => 4/2).evalf() |> println

   1.41639227322922

function draw(r1, r2, r3, more)
    pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   (x2, y2) = (2*sqrt(r1)*sqrt(r2)*sqrt(r3)*sqrt(r1 + r2 + r3)/(r1 + r3), (r1^2 + r1*r2 + r1*r3 - r2*r3)/(r1 + r3))
   θ1 = atand(x2, y2)
   θ2 = acosd(((r1 + r2)^2 + (r2 + r3)^2 - (r1 + r3)^2)/(2(r1 + r2)*(r2 + r3)))
   θ3 = 180 - θ1 - θ2
   S = (r1 + r3)*x2/2 - (r1^2*θ1 + r2^2*θ2 + r3^2*θ3)*pi/360
   @printf("大円，中円，小円の直径がそれぞれ %g, %g, %g のとき，黒積は %g である。\n", 2r1, 2r2, 2r3, S)
   @printf("r1 = %g;  r2 = %g;  r3 = %g;  x2 = %g;  y2 = %g\n", r1, r2, r3, x2, y2)
   plot([0, x2, 0, 0], [0, y2, r1 + r3, 0], color=:black, lw=0.5, seriestype=:shape, fillcolor=:gray70)
   circlef(0, 0, r1, :white)
   circle(0, 0, r1)
   circle(0, 0, 0.15r1, beginangle=90 - θ1, endangle=90, lw=2)
   circlef(x2, y2, r2, :white)
   circle(x2, y2, r2, :blue)
   circle(x2, y2, 0.15r1, :blue, beginangle=90 + θ3, endangle=90 + θ3 + θ2, lw=2)
   circlef(0, r1 + r3, r3, :white)
   circle(0, r1 + r3, r3, :green)
   circle(0, r1 + r3, 0.15r1, :green, beginangle=270, endangle=270 + θ3, lw=2)
   plot!([0, x2, 0, 0], [0, y2, r1 + r3, 0], color=:black, lw=0.5)

   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(delta/2, 4delta, "θ1", :red, :left, :bottom, delta=delta, mark=false)
       point(0, 0, "大円:r1,(0, 0)", :red, :center, delta=-delta/2)
       point(x2 - 5delta, y2 - 2delta, "θ2", :blue, :right, :vcenter, mark=false)
       point(x2, y2, "中円:r2,(x2,y2)", :blue, :center, delta=4delta, deltax=delta)
       point(3.5delta, r1 + r3 - 5delta, "θ3", :green, :right, :vcenter, mark=false)
       point(0, r1 + r3, "小円:r3,(0,r1+r3)", :green, :center, :bottom, delta=delta)
   end

end;

draw(10/2, 6/2, 4/2, true)

 

算額（その2086）

算額（その2086）

九十一 群馬県富岡市一ノ宮 貫前神社 安政5年(1858)
群馬県和算研究会:群馬の算額，上武印刷株式会社，高崎市，1987年3月31日.
キーワード：円6個，外円，半円

巽円（外円）の中に乾円と半乾円を 1 個ずつ，坤円 2 個，艮円 2 個を容れる。巽円の直径が与えられたとき，乾円，坤円，艮円の直径を求める術を述べよ。

巽円の半径と中心座標を R, (0, 0)
乾円の半径と中心座標を r1, (0, R - r1)
坤円の半径と中心座標を r2, (x2, y2); y2 = R - 2r1
艮円の半径と中心座標を r3, (x3, y3); x3 = x2, y3 = -br1
とおき，以下の連立方程式を解く。

include("julia-source.txt");

using SymPy
@syms R::positive, r1::positive, r2::positive,
     x2::positive, y2::negative, r3::positive,
     x3::positive, y3::negative;
y2 = R - 2r1
x3 = x2
y3 = -r1
eq1 = x2^2 + r1^2 - (r1 + r2)^2 |> expand
eq2 = x3^2 + (y3 - (R - 3r1))^2 - (r1 + r3)^2 |> expand
eq3 = x2^2 + y2^2 - (R - r2)^2 |> expand
eq4 = r1^2 + (R - 3r1)^2 - R^2
res = solve([eq1, eq2, eq3, eq4], (r1, r2, r3, x2))[1]

   (3*R/5, 3*R/10, R/10, 3*sqrt(5)*R/10)

乾円，坤円，艮円の直径はそれぞれ，巽円の直径の 3/5, 3/10, 1/10 倍である。

巽円の直径が 20 寸のとき，すべてのパラメータは以下のとおりである。

   R = 10;  r1 = 6;  r2 = 3;  r3 = 1;  x2 = 6.7082;  y2 = -2;  x3 = 6.7082;  y3 = -6

function draw(R, more)
    pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   (r1, r2, r3, x2) = R.*(3/5, 3/10, 1/10, 3√5/10)
   y2 = R - 2r1
   x3 = x2
   y3 = -r1
   @printf("R = %g;  r1 = %g;  r2 = %g;  r3 = %g;  x2 = %g;  y2 = %g;  x3 = %g;  y3 = %g\n", R, r1, r2, r3, x2, y2, x3, y3)
   plot()
   circle(0, 0, R, :magenta)
   circle(0, R - r1, r1)
   circle(0, R - 3r1, r1, beginangle=0, endangle=180)
   circle2(x2, y2, r2, :blue)
   circle2(x3, y3, r3, :green)
   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(0, R - r1, "乾円:r1,(0,R-r1)", :red, :center, delta=-delta/2)
       point(x2, y2, "坤円:r2,(x2,y2)", :blue, :center, delta=-delta/2)
       point(x3, y3, "艮円:r3,(x3,y3)", :green, :center, delta=-delta/2)
       point(x3, y3, "艮円:r3,(x3,y3)", :green, :center, delta=-delta/2)
       point(0, R, "R", :magenta, :center, :bottom, delta=delta/2)
       point(r1, R - 3r1, "(r1,R-3r1) ", :magenta, :right, :vcenter)
   end

end;

draw(20/2, true)