算額（その1290）

算額（その1290）

百四十一 群馬県藤岡市鮎川 北野神社 明治24年(1891)
群馬県和算研究会:群馬の算額，上武印刷株式会社，高崎市，1987年3月31日.
キーワード：円4個，楕円

楕円の中に小円 2 個を容れる。小円はそれぞれが楕円と 2 点で接する。さらに，小円と外接する大円 2 個を描く。大円は互いに外接し，2 個の小円とも外接する。楕円の長径と短径，小円の直径が与えられた解き，大円の直径を求める術を述べよ。

楕円の長半径，短半径を a, b
大円の半径と中心座標を r1, (0, r1)
小円の半径と中心座標を r2, (x2, 0)
とおき，以下の連立方程式を解く。

eq1 は「算法助術の公式84」による。

include("julia-source.txt");

using SymPy
@syms a::positive, b::positive,
     r1::positive, r2::positive, x2::positive;
eq1 = x2^2 - (a^2 - b^2)*(b^2 - r2^2)/b^2
eq2 = x2^2 + r1^2 - (r1 + r2)^2
res = solve([eq1, eq2], (r1, x2))[1]

   (-(-a^2*b^2 + a^2*r2^2 + b^4)/(2*b^2*r2), sqrt(-(a - b)*(-b + r2))*sqrt(a + b)*sqrt(b + r2)/b)

res[1] |>  simplify |> println
res[2] |>  simplify |> println

   (a^2*b^2 - a^2*r2^2 - b^4)/(2*b^2*r2)
   sqrt(a^2*b^2 - a^2*r2^2 - b^4 + b^2*r2^2)/b

たとえば，長径 = 6，短径 = 3，小円の直径 = 2 のとき，大円の半径は 1.375 である（直径は 2.75）。

a = 6/2; b = 3/2; r2 = 2/2
(a^2*b^2 - a^2*r2^2 - b^4)/(2*b^2*r2)

   1.375

function draw(a, b, r2, more)
    pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   r1 = (a^2*b^2 - a^2*r2^2 - b^4)/(2*b^2*r2)
   x2 = sqrt(a^2*b^2 - a^2*r2^2 - b^4 + b^2*r2^2)/b
   @printf("長径が %g，短径が %g，小円の直径が %g のとき，大円の直径は %g である。\n", 2a, 2b, 2r2, 2r1)
   plot()
   ellipse(0, 0, a, b, color=:blue)
   circle22(0, r1, r1, :green)
   circle2(x2, 0, r2)
   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(0, r1, "大円:r1,(0,r1)", :green, :center, delta=-delta)
       point(x2, 0, "小円:r2,(x,0)", :red, :center, delta=-delta)
       point(0, b, "b", :blue, :center, :bottom, delta=delta)
       point(a, 0, " a", :blue, :left, :vcenter)
   end  
end;

draw(6/2, 3/2, 2/2, true)