算額（その1144）

算額（その1144）

一〇一 大宮市高鼻町 氷川神社 明治31年(1898)
埼玉県立図書館：埼玉県史料集 第二集『埼玉の算額』，昭和44年，誠美堂印刷所，埼玉県与野市.
キーワード：円5個，正三角形2個，正方形，対角線

正方形の中に対角線，大円 2 個，中円 1 個，小円 2 個，正三角形 2 個を容れる。小円の直径が 1 寸のとき，大円の直径はいかほどか。

図形を反時計回りに 45° 回転させると考えやすい。
正方形の対角線の長さを 2a
大円の半径と中心座標を r1, (x1, -r1)
中円の半径と中心座標を r2, (0, -r2 - b)
小円の半径と中心座標を r3, (x3, r3)
小さな正三角形の高さを b = a*(3 - √3)/2
とおき，以下の連立方程式を解く。

include("julia-source.txt")

using SymPy

@syms a::positive, b::positive, r1::positive,
     x1::positive, r2::positive,
     r3::positive, x3::positive
b = a*(3 - √Sym(3))/2
eq1 = dist2(0, a, a/√Sym(3), 0, x3, r3, r3)
eq2 = dist2(0, a, a, 0, x3, r3, r3)
eq2 = r3/(a - x3) - tand(Sym(45)/2)
eq3 = dist2(0, 0, b/√Sym(3), -b, x1, -r1, r1)
eq4 = dist2(0, -a, a, 0, x1, -r1, r1)
eq5 = (a - r2 - b) - √Sym(2)r2;

まず，eq1, eq2 から a, x3 を求める。

res1 = solve([eq1, eq2], (a, x3))[1];

@syms d
ans_a = apart(res1[1]/r3, d) |> simplify |> (x -> r3*x)
ans_a |> println

   r3*(sqrt(6)/2 + sqrt(3) + 2 + 3*sqrt(2)/2)

ans_x3 = apart(res1[2]/r3, d) |> simplify |> (x -> r3*x)
ans_x3 |> println

   r3*(sqrt(2)/2 + 1 + sqrt(6)/2 + sqrt(3))

x1 は eq3 から求まるが，この段階ではまだ r1 が未知である。

ans_x1 = solve(eq3, x1)[1]
ans_x1 |> println

   sqrt(3)*r1

eq4 に a, x1 を代入して，r1 を求める。

eq4 = eq4(a => ans_a, x1 => ans_x1) |> simplify;
ans_r1 = solve(eq4, r1)[2] |> simplify;
ans_r1 = apart(ans_r1*4/r3, d) |>  simplify |> (x -> x*r3/4) |> simplify
ans_r1 |> println

   r3*(sqrt(2) + 2)/2

大円の半径 r1 は 小円の半径 r3 の (√2 + 2)/2 倍である。
小円の直径が 1 寸のとき，大円の直径は (√2 + 2)/2 = 1.7071067811865475 である。

eq5 に a を代入して r2 を求める。

eq5 = eq5(a => ans_a);
ans_r2 = apart(solve(eq5, r2)[1]/r2, d) |> simplify |> (x -> r2*x)
ans_r2 |> println

   r3*(-1 + sqrt(2) + sqrt(3))/2

その他のパラメータは以下の通りである。

   r3 = 0.5;  a = 3.53906;  x3 = 2.33195;  r1 = 0.853553;  x1 = 1.4784;  r2 = 0.536566;  b = 2.24367

function draw(r3, more=false)
    pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   a = r3*(√6/2 + √3 + 2 + 3√2/2)
   x3 = r3*(√2/2 + 1 + √6/2 + √3)
   r1 = r3*(√2 + 2)/2
   x1 = √3r1
   b = a*(3 - √3)/2
   r2 = r3*(√2 + √3 - 1)/2
   @printf("小円の直径が %g のとき，大円の直径は %g である。\n", 2r3, 2r1)
   @printf("r3 = %g;  a = %g;  x3 = %g;  r1 = %g;  x1 = %g;  r2 = %g;  b = %g\n", r3, a, x3, r1, x1, r2, b)
   plot([a, 0, -a, 0, a], [0, a, 0, -a, 0], color=:blue, lw=0.5)
   segment(-a, 0, a, 0, :magenta, lw=0.5)
   plot!([a/√3, 0, -a/√3, a/√3], [0, a, 0, 0], color=:green, lw=0.5)
   plot!([b/√3, 0, -b/√3, b/√3], [-b, 0, -b, -b], color=:green, lw=0.5)
   circle2(x1, -r1, r1)
   circle(0, -r2 - b, r2, :magenta)
   circle2(x3, r3, r3, :orange)
   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(0, a, "a", :blue, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(a, 0, "a", :blue, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(a/√3, 0, "a/√3", :green, :left, delta=-delta/2)
       point(b/√3, -b, " (b/√3,-b)", :green, :left, :vcenter)
       point(x1, -r1, "大円:r1\n(x1,-r1)", :red, :center, delta=-delta/2)
       point(x3, r3, "小円:r3,(x3,r3) ", :black, :right, :vcenter)
       point(0, -r2 - b, " 中円:r2,(0,-r2-b)", :black, :left, :vcenter)
   end
end;