ハミング符号の原理（５） －グレイ・ハミング符号－

シンドロームがグレイコード（グレーコード、交番２進符号）となるグレイ・ハミング符号の作成方法。
◆グレイ・ハミング符号（グレイコード・ハミング符号、ＧＨ符号）の作成方法は次のとおり。

　　　 　(1**)(*1*)(**1)
001　a　　　　　　　　 a
011　b　　　　　b　　　b
010　c　　　　　c
110　d　　d　　 d
111　p1　p1　　p1　　p1
101　p2　p2　　　　　 p2
100　p3　p3
-------------------
　　　　 　s1　　s2　　s3

s1 = d+p1+p2+p3
s2 = b+c+d+p1
s3 = a+b+p1+p2

(s1,s2,s3)=(0,0,0) となるように p1,p2,p3 について、式を解くと。

0 = d+p1+p2+p3　（式１）
0 = b+c+d+p1　　（式２）
0 = a+b+p1+p2 　（式３）

（式２）より、
p1 = b+c+d

この p1 を（式３）に代入して、
p2 = a+b+p1 = a+b+(b+c+d) = a+c+d

（式１）、（式３）より、
p3 = a+b+d

よって、検査ビット（パリティビット）は、
p1 = b+c+d
p2 = a+c+d
p3 = a+b+d

◆拡大グレイ・ハミング符号（拡大グレイコード・ハミング符号、拡大ＧＨ符号）の作成方法は次のとおり。

　　　　　 (1***)(*1**)(**1*)(***1)
1001　a　 a　　　　　　　　　　　 a
1011　b　 b　　　　　　　　b　　　b
1010　c　 c　　　　　　　　c
1110　d　 d　　　　d　　　 d
1111　p1　p1　　　p1　　 p1　　p1
1101　p2　p2　　　p2　　　　　　p2
1100　p3　p3　　　p3
1000　p4　p4　
----------------------------
　　　　　　s0　　　s1　　　s2　　　s3

グレイ・ハミング符号に、下記の単一パリティ検査符号を追加すると、１ビット誤り訂正ができ、かつ、２ビット誤り検出が可能な、拡大グレイ・ハミング符号の作成ができます。

s0 = a+b+c+d+p1+p2+p3+p4
0 = a+b+c+d+p1+p2+p3+p4　（式０）

（式０）に、上記で求めた p1,p2,p3 を代入し、

p4 = a+b+c+d+p1+p2+p3
　 = a+b+c+d
　　 +(b+c+d)
　　 +(a+c+d)
　　 +(a+b+d)
　 = a+b+c

よって、検査ビット（パリティビット）は、
p1 = b+c+d
p2 = a+c+d
p3 = a+b+d
p4 = a+b+c

ハミング符号の原理（１）
ハミング符号の原理（２）
ハミング符号の原理（３）
ハミング符号の原理（４）　－拡大ハミング符号－
ハミング符号の原理（５）　－グレイ・ハミング符号－
ハミング符号の原理（６）　－巡回ハミング符号－