ハミング符号の原理（４） －拡大ハミング符号－

ハミング符号の原理（１）～（３）で説明したハミング符号は、１ビット誤り訂正のみしかできず、２ビット以上の誤りの場合には、間違ったデータに訂正されてしまう（誤訂正されてしまう）ものでした。

しかし、先のハミング符号と単一パリティ検査符号とを組み合わせ、１ビット誤り訂正・２ビット誤り検出の可能な拡大ハミング符号（拡張ハミング符号）を作成することができます。

情報ビットと検査ビットのすべてのビットに基づいて作成するシンドローム s0 を追加します。
シンドローム s1、s2、s3のいずれかがゼロ以外で、s0 がゼロの時は、２ビット誤りを示します。

　　　　(1***)(*1**)(**1*)(***1)
1001 a　 a　　　　　　　　　　　a
1010 b　 b　　　　　　　b
1011 c　 c　　　　　　　c　　　c
1100 d　 d　 　　d
1101 p1　p1　　p1　 　　　　 p1
1110 p2　p2　　p2　　 p2
1111 p3　p3　　p3　　 p3　　p3
1000 p4　p4
----------------------------
　　　　　　s0　　s1　　s2　　s3

s0=a+b+c+d+p1+p2+p3+p4　（式０）
s1=d+p1+p2+p3 （式１）
s2=b+c+p2+p3　（式２）
s3=a+c+p1+p3　（式３）

ここで、シンドローム(s0,s1,s2,s3)がゼロとなるように、検査ビットp1,p2,p3,p4を求める。

(s1,s2,s3)=0
s1=s2=s3=0

（式１）と（式２）より、
s1=s2
d+p1+p2+p3=b+c+p2+p3
d+p1=b+c

両辺にd を足して、
d+d+p1=b+c+d

d+d=0 なので、（モジュロ２加算；同じ数字を足すとゼロ）
p1=b+c+d

（式１）と（式３）より、
d+p1+p2+p3=a+c+p1+p3
d+p2=a+c
p2=a+c+d

（式２）より、
0=b+c+p2+p3
p3=b+c+p2=b+c+a+c+d

c+c=0 なので、（モジュロ２加算；同じ数字を足すとゼロ）
p3=a+b+d

（式０）と（式１）より、
a+b+c+d+p1+p2+p3+p4=d+p1+p2+p3
a+b+c+p4=0
p4=a+b+c

よって、検査ビット（パリティビット）は、
p1=b+c+d
p2=a+c+d
p3=a+b+d
p4=a+b+c

ハミング符号の原理（１）
ハミング符号の原理（２）
ハミング符号の原理（３）
ハミング符号の原理（４）　－拡大ハミング符号－
ハミング符号の原理（５）　－グレイ・ハミング符号－
ハミング符号の原理（６）　－巡回ハミング符号－