004. 算術関数ATNの計算方法

BASIC/98での、arctan(Y/X)の算術関数ATN(X/Y)の演算結果は、
-π/2～π/2の値となります。従って、上図の図１の、第一及び第四象限では、算術関数ATN(X/Y)は、そのままの値で問題はない。問題となるのは、第二及び第三象限の場合である。

第二及び第三象限の場合でのθ=arctan(Y/X)の計算方法は、いくつか考えられるが、其のいくつかの方法を試みた結果、私は、現在、上図方法で計算している。

この方法が、現在のところ、全象限での画像の連続性は最も良い。
これは経験上のことで未だ理屈として正しいのかどうか確信はない。
もっと理屈にかなったθ=arctan(Y/X)の計算方法が有るかも知れない。
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私は、θ=arctan(Y/X)の計算は下記のようなプログラムでサブルーチン化している。

5000 REM θの計算:file name ARCTAN3A
5010 IF X=0 THEN 5020 ELSE 5050
5020 IF Y=0 THEN TH=0 :GOTO 5090
5030 IF Y>0 THEN TH=P/2 ELSE TH=-P/2
5040 GOTO 5090
5050 AA=Y/X
5060 IF X>0 THEN TH=ATN(AA) :GOTO 5090
5070 IF X<0 AND Y>0 THEN TH=ATN(AA)+P :GOTO 5090
5080 IF X<0 AND Y<0 THEN TH=ATN(AA)-P
5090 RETURN

003 複素関数の実数部と虚数部について

以下のリストのように、複素関数の実数部と虚数部はサブルーチン化しておき、本体プログラムより必要に応じて DEF FN コマンドで呼び出している。関数は随時追加している。
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10000 REM KOSHIKI FILE NAME KOSHIKI ,Ver.4
10010 EE=2.718281# :P=3.141592#
10020 DEF FNSINH(X)=.5#*(EE^X-EE^(-X))
10030 DEF FNCOSH(X)=.5#*(EE^X+EE^(-X))
10040 REM Z^n
10050 DEF FNR2(X,Y)=X^2-Y^2
10060 DEF FNI2(X,Y)=2*X*Y
10070 DEF FNR3(X,Y)=X*(X^2-3*Y^2)
10080 DEF FNI3(X,Y)=Y*(3*X^2-Y^2)
10090 DEF FNR4(X,Y)=FNR2(X,Y)^2-FNI2(X,Y)^2
10100 DEF FNI4(X,Y)=2*FNR2(X,Y)*FNI2(X,Y)
10110 DEF FNR5(X,Y)=FNR2(X,Y)*FNR3(X,Y)-FNI2(X,Y)*FNI3(X,Y)
10120 DEF FNI5(X,Y)=FNR2(X,Y)*FNI3(X,Y)+FNI2(X,Y)*FNR3(X,Y)
10130 DEF FNR6(X,Y)=FNR3(X,Y)^2-FNI3(X,Y)^2
10140 DEF FNI6(X,Y)=2*FNR3(X,Y)*FNI3(X,Y)
10150 DEF FNR7(X,Y)=X*FNR6(X,Y)-Y*FNI6(X,Y)
10160 DEF FNI7(X,Y)=Y*FNR6(X,Y)+X*FNI6(X,Y)
10170 DEF FNR8(X,Y)=FNR6(X,Y)*FNR2(X,Y)-FNI6(X,Y)*FNI2(X,Y)
10180 DEF FNI8(X,Y)=FNR6(X,Y)*FNI2(X,Y)+FNI6(X,Y)*FNR2(X,Y)
10190 DEF FNR9(X,Y)=FNR6(X,Y)*FNR3(X,Y)-FNI6(X,Y)*FNI3(X,Y)
10200 DEF FNI9(X,Y)=FNR6(X,Y)*FNI3(X,Y)+FNI6(X,Y)*FNR3(X,Y)
10210 DEF FNR10(X,Y)=FNR6(X,Y)*FNR4(X,Y)-FNI6(X,Y)*FNI4(X,Y)
10220 DEF FNI10(X,Y)=FNR6(X,Y)*FNI4(X,Y)+FNI6(X,Y)*FNR4(X,Y)
10222 DEF FNR11(X,Y)=FNR6(X,Y)*FNR5(X,Y)-FNI6(X,Y)*FNI5(X,Y)
10224 DEF FNI11(X,Y)=FNI6(X,Y)*FNR5(X,Y)+FNR6(X,Y)*FNI5(X,Y)
10226 DEF FNR12(X,Y)=(FNR6(X,Y))^2-(FNI6(X,Y)^2)
10228 DEF FNI12(X,Y)=2*FNR6(X,Y)*FNI6(X,Y)
10230 DEF FNR13(X,Y)=FNR6(X,Y)*FNR7(X,Y)-FNI6(X,Y)*FNI7(X,Y)
10232 DEF FNI13(X,Y)=FNI6(X,Y)*FNR7(X,Y)+FNR6(X,Y)*FNI7(X,Y)
10238 REM Sin Z
10240 DEF FNSINR(X,Y)=.5#*SIN(X)*(EE^Y+EE^(-Y))
10250 DEF FNSINI(X,Y)=.5#*COS(X)*(EE^Y-EE^(-Y))
10260 REM COS Z
10270 DEF FNCOSR(X,Y)=.5#*COS(X)*(EE^Y+EE^(-Y))
10280 DEF FNCOSI(X,Y)=-.5#*SIN(X)*(EE^Y-EE^(-Y))
10282 REM TAN Z
10284 DEF FNTANR(X,Y)=FNSINR(X,Y)*FNCOSR(X,Y)-FNSINI(X,Y)*FNCOSI(X,Y)/((FNCOSR(X,Y))^2+(FNCOSI(X,Y))^2)
10286 DEF FNTANI(X,Y)=FNSINR(X,Y)*FNCOSI(X,Y)+FNCOSR(X,Y)*FNSINI(X,Y)/((FNCOSR(X,Y))^2+(FNCOSI(X,Y))^2)
10290 REM e^Z
10300 DEF FNEZR(X,Y)=COS(Y)*EE^X
10310 DEF FNEZI(X,Y)=SIN(Y)*EE^X
10320 REM Sinh Z
10330 DEF FNSINHR(X,Y)=.5#*COS(Y)*(EE^X-EE^(-X))
10340 DEF FNSINHI(X,Y)=.5#*SIN(Y)*(EE^X+EE^(-X))
10350 REM Cosh Z
10360 DEF FNCOSHR(X,Y)=.5#*COS(Y)*(EE^X+EE^(-X))
10370 DEF FNCOSHI(X,Y)=.5#*SIN(Y)*(EE^X-EE^(-X))
10380 REM Sin(Sin Z)
10390 DEF FNSINSINR(X,Y)=SIN(FNSINR(X,Y))*FNCOSH(FNSINI(X,Y))
10400 DEF FNSINSINI(X,Y)=COS(FNSINR(X,Y))*FNSINH(FNSINI(X,Y))
10410 REM Cos(Sin Z)
10420 DEF FNCOSSINR(X,Y)=COS(FNSINR(X,Y))*FNCOSH(FNSINI(X,Y))
10430 DEF FNCOSSINI(X,Y)=-SIN(FNSINR(X,Y))*FNSINH(FNSINI(X,Y))
10440 REM e^(Z^2)
10450 DEF FNEZR2(X,Y)=(EE^(FNR2(X,Y)))*COS(FNI2(X,Y))
10460 DEF FNEZI2(X,Y)=(EE^(FNR2(X,Y)))*SIN(FNI2(X,Y))
10470 REM e^(Z^3)
10480 DEF FNEZR3(X,Y)=(EE^(FNR3(X,Y)))*COS(FNI3(X,Y))
10490 DEF FNEZI3(X,Y)=(EE^(FNR3(X,Y)))*SIN(FNI3(X,Y))
10500 REM e^(Z^4)
10510 DEF FNEZR4(X,Y)=(EE^(FNR4(X,Y)))*COS(FNI4(X,Y))
10520 DEF FNEZI4(X,Y)=(EE^(FNR4(X,Y)))*SIN(FNI4(X,Y))
10530 REM e^(Z^5)
10540 DEF FNEZR5(X,Y)=(EE^(FNR5(X,Y)))*COS(FNI5(X,Y))
10550 DEF FNEZI5(X,Y)=(EE^(FNR5(X,Y)))*SIN(FNI5(X,Y))
10560 REM e^(Z^6)
10570 DEF FNEZR6(X,Y)=(EE^(FNR6(X,Y)))*COS(FNI6(X,Y))
10580 DEF FNEZI6(X,Y)=(EE^(FNR6(X,Y)))*SIN(FNI6(X,Y))
10590 REM e^(Z^7)
10600 DEF FNEZR7(X,Y)=(EE^(FNR7(X,Y)))*COS(FNI7(X,Y))
10610 DEF FNEZI7(X,Y)=(EE^(FNR7(X,Y)))*SIN(FNI7(X,Y))
10620 REM e^(Z^8)
10630 DEF FNEZR8(X,Y)=(EE^(FNR8(X,Y)))*COS(FNI8(X,Y))
10640 DEF FNEZI8(X,Y)=(EE^(FNR8(X,Y)))*SIN(FNI8(X,Y))
10650 REM e^(Z^9)
10660 DEF FNEZR9(X,Y)=(EE^(FNR9(X,Y)))*COS(FNI9(X,Y))
10670 DEF FNEZI9(X,Y)=(EE^(FNR9(X,Y)))*SIN(FNI9(X,Y))
10680 REM e^(Z^10)
10690 DEF FNEZR10(X,Y)=(EE^(FNR10(X,Y)))*COS(FNI10(X,Y))
10700 DEF FNEZI10(X,Y)=(EE^(FNR10(X,Y)))*SIN(FNI10(X,Y))
10710 REM e^(SIN Z)
10720 DEF FNEZSINR(X,Y)=(EE^(FNSINR(X,Y)))*COS(FNSINI(X,Y))
10730 DEF FNEZSINI(X,Y)=(EE^(FNSINR(X,Y)))*SIN(FNSINI(X,Y))
10740 REM e^(SINH Z)
10750 DEF FNEZSINHR(X,Y)=EE^(FNSINHR(X,Y))*COS(FNSINHI(X,Y))
10760 DEF FNEZSINHI(X,Y)=EE^(FNSINHR(X,Y))*SIN(FNSINHI(X,Y))
10780 REM e^(COS Z)
10790 DEF FNEZCOSR(X,Y)=(EE^(FNCOSR(X,Y)))*COS(FNCOSI(X,Y))
10800 DEF FNEZCOSI(X,Y)=(EE^(FNCOSR(X,Y)))*SIN(FNCOSI(X,Y))
10810 REM e^(COSH Z)
10820 DEF FNEZCOSHR(X,Y)=EE^(FNCOSHR(X,Y))*COS(FNCOSHI(X,Y))
10830 DEF FNEZCOSHI(X,Y)=EE^(FNCOSHR(X,Y))*SIN(FNCOSHI(X,Y))
10840 RETURN----------------------------------------

002. 画像作成のプログラムと色及びNoのlog化の概略説明

（Ａ)・ジュリィア集合変形画像とマンデルブロー画像の以下のように此のブログでは定義する。

・ジュリィア集合変形画像の定義

『ある任意の複素関数をf(Z)+Cとします。Cは実数でも虚数でも構いません。
ある複素画面領域の点(Z=X+iY)において、01.図～04.図の計算手順を満足したとき、その点に色を付けて、その点Zを表示する。この手順を複素画面領域全てについて行い画像を完成させる。』

これとは少し異なる手順の画像作成条件を考える。便宜上、そのような画像をマンデルブロ画像と名づける。この画像作成方法は以下のとおりとする。

・マンデルブロー画像の定義

『ある任意の複素関数をf(Z)+Cとします。Cは複素数でRe.C=CX,Im.C=CYとする。
ある複素画面領域の点(CX,CY)において、Z=X+iYとしてf(Z)+Cを上のフロー図のように計算を行います。この計算手順を満足したとき点(CX,CY)に色をつけて表示する。
この手順をCの複素画面領域全てについて行い画像を完成させる。』

注：複素関数をf(Z)+Cとしたとき、『ジュリィア集合変形画像』の複素画面表示はZ=X+iYで点(X,Y)の集合であり、『マンデルブロー画像は点(CX,CY)の集合』である。

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（Ｂ）ジュリィア集合変形画像の作成手順のプログラム・概略フロー図を以下に示す。



なお極座標を用いた画像作成については下記の2.及び3.を適宜、使用しているが詳細説明は割愛する。

以下此のブログでのジュリィア集合変形画像作成の詳細なプログラム・フロー図を示しておく。

1.方法1：ジュリィア集合変形画像作成のフロー図。



2.方法2：ジュリィア集合変形画像作成のフロー図。(極座標によるもの：1)



3.方法3：ジュリィア集合変形画像作成のフロー図。(極座標によるもの：2)



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（Ｃ）マンデルブロー集合変形画像の作成手順のプログラム・概略フロー図を以下に示す。



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（Ｄ）画像の色の説明を以下に示す。







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（Ｅ）N-loop脱出時のNoのLOG化について。

4 N-loop脱出時のNoのLOG化について。

以下においてLOGの底はeである。
BASIC/98において使用できるのは最大16色であり、その色は、O～15の中の整数(Cとする)
で指定される。その具体的な配色は上記（Ｄ）項のように決められている。

従って、このブログでは、N-loop脱出時のNをNoとしたとき、Noを色Cで表現する場合、
No＞16では、C=No MOD 16として、16進法で゛色を決めている。

マンデルブロ画像のように画像構造が細密な個所では、Noが複雑に変化し、その結果、そのような個所で色が複雑に変化して分かりにくくなる。

そのような場合の画像構造を、より分かりやすくするために、NoをLOG化することが考えられる。　以下、NoをLOG化した場合の検討である。

***

LOG(No)が、1 だけ変化変化した場合(即ち、色Cが次の色に変化した場合)、
Noは、どれだけ変化するのだろうか?

いま、Noの値としてNa,Nbを考え、LOG(Nb)-LOG(Na)=1　とする。
従って、LOG(Nb/Na)=1 故に、Nb/Na=e=2.72 故に　Nb=2.72Na　となる。

従って、LOG(No)が、1 だけ変化した場合、Noは 2.72 変化していることになる。

逆に言うと、Noが2.72倍変化したとき、色Cが次の色に変わり、画像の色変化が緩和され、
色のよるが画像構造が容易になる(但し、それだけ色による構造分析は粗くなる)

BASIC/98の色配色(整数:Cに対する色の配色)は、画像構造の解析において適当とは言えず、配色を移動させたほうがよい場合がある。

その場合に、Noに適当な係数を掛け配色を移動させる。

例えば、その係数を10^6とすると、
LOG(10^6*No)=LOG(10^6)+LOG(No)=6*LOG(10)+LOG(No)=13.8+LOG(No)

となり、13.8→13 or 12 だけ配色が移動する。

注：配色移動は、C=(適当な整数+LOG(No) としてもよいが、Noに直接、適当な係数を掛けたほうが精度が上がるから上記の方法にした。

***

{ 要約と要点 }

『複素平面上の画像において、このブログでは、Noを色Cで表現している。
マンデルブロ画像のように、画像のある個所においては画像が細密になり(即ち、Noの変化が
細密になり)、Noの表現である色Cの区別が識別しにくくなる。

そのために、NoをLOG(No)で表現する。
そうすることによって、N=2.72*Noになったとき次の色に変わる。

例：No=2(C=2:赤)のとき、N=2.72*2=5.44→5になったとき、次の色:C=3(紫)に変わる。
この場合は、N=2～4はC=2(赤)として単一表現され画像の色の変化が単純化される。

また、単純化されるNの値の数はNに依存し、N→大程大きくなる。
最大となるのは、No MOD 16=15 のときで、15*2.72=40.8→40 となりNoの変化が40でも同一色で表示され、画像解析が容易となる。

この色の単純化(グループ化)は、実際には、Noの係数(例:10^6)を含めてのLOG化と色の16進法化で行われるから、これ自体が複雑な操作であるが、LOG(No)化によって画像の色による解析が容易になることは確かである。但し、その分、解析は粗くはなる。

001. 初めに & 画像例

拝啓。

これからパソコンを使って画像の作成遊びを気が向くままボチボチとしていきたいと思います。
　
どんな画像遊びかというと、その“たね本”がありまして其れは『コンピューター・カオス・フラクタル－見えない世界のグラフィクス－』(クリフォード・Ａ・ピックオーバー著、白揚社)です。

この本では、いわゆるマンデルブロー図形や、その他の種々の奇妙で不思議な図形が、とても分かりやすく、たくさん紹介されていて其れら図形・画像の作り方のプログラムも掲載されています。　この本の「はじめに」には、この本の意図・特徴がよく表現されています。少し長いですが引用してみましょう。

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『私はときどき自分を釣り師になぞらえてみる。コンピューター・プログラムとアイデアは釣り針であり、リールである。コンピューターで描きあげた絵はトロフィーであり、うまいご馳走である。釣り師には、何が釣れるかがいつもわかっているわけではない。しかし、どこがよく釣れるか、どの流れに魚がたまっているか、などについての知識はもっているだろう。しばしばびっくりするほどの大物が釣れるが、これこそまさに釣りの醍醐味である。しかし保証はない。そのかわり予期しない楽しみもある。読者もぜひ未知の釣り場で実際に糸を垂れてほしい。できれば釣りあげた獲物を観賞し更に其れを解剖し内部の構造を調べてほしい。』
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私も釣り竿を持って複素平面という名の池へ行ってノンビリと釣り糸を垂れよう、というわけです。　

釣り竿や釣り針は、多くのみなさんも、昔(と言っても、かれこれ２０年ほど前ですかねぇ)、使っていたインタプリターＢＡＳＩＣ言語のＢＡＳＩＣ／９８(電脳組)を使います。

このテの画像遊びには適しない言語でしょうが、私は昔、職場で此れを学ばされまして退職後、此の遊びに使ってやれと思いたった次第です。それなりに楽しめます。

もちろん、画像の面白さは主観的なものであり他の人にはツマラナイものかも知れません。

なお此のブログではジュリィア変形集合画像とマンデルブロー集合画像を主として作成しています。それらの画像の説明についてはカテゴリー『画像作成の説明』で説明しています。

ではではーーーー

追啓：このブログでは複素関数を使用していますが其の使い方( 主として複素関数の実数部と虚数部の求め方 )に、数学上の間違いがあるかも知れません。その点、承知おき願います。



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以下は此のブログでの画像例です。