正解率４割！”9−3÷1/3+1”が解けない？

　2014年に朝日新聞が報じた､”9−3÷1/3+1=?の新入社員の正答率が4割だった”という話題が物議を醸している。
　因みに､JCASTによると20代の正解率は6割もないとされる(yukawanetより)。

　”9−3÷1/3+1”の計算を高卒と大卒の技術者の新入社員にテストした所､正答率は何と4割だった。”÷”と”/”との表記が混在し､ナメて掛かると必ず混乱する問題でもある。

　しかし､この単純な計算のどこが難しいのだろう？

4割の新人がミスした単純な計算

　仮に､”9−3÷1/3+1”を古い卓上電卓で計算すると､3になる。
　電卓には”/”のボタンがないから”÷”で置き換え､前からバカ正直に順に計算するから､”9−3÷1÷3+1”=6÷1÷3+1=6÷3+1=3と弾き出す。
　しかし不思議な事に､スマホの電卓アプリだと､なぜだか4割の新人がミスした様に”9”という答えになる。

　多分間違えた人は､以下の様に計算したに違いない。
　”9−3÷1/3+1”=9−(3÷1/3)+1=9−3/3+1=9。
　これは､わり算を括弧で括ったまでは良かったが､3÷1/3=3/3として間違えてしまった。
　そこで､”÷”は”/”よりも記号としては弱い(曖昧だ)から､まずは1/3を括弧で括り､”÷”を”/”に置き換え､3÷1/3=3/(1/3)=3×3とするのが正しい。つまり､何もせずにそのまま左から順に計算したらアウトなのだ。
　数学的センスのある人は､”3を1/3で割る”との感覚がすぐに浮かぶだろうから､間違う人は少ないだろう。
　恥ずかしいながら､私もこれにまんまと引っかかった。悲しいかな､原稿を読み飛ばした菅首相と同じである。

　つまり正解は､”9−3÷1/3+1”=9−3/(1/3)+1=9−(3×3)+1=9−9+1=1である。
　因みに､正しい問題文は”9−3÷3分の1+1”という事で､パソコンで”9−3÷1/3+1”と表記したが故に､大きな混乱の原因になった。
　正確には､”9−3÷(1/3)+1”と書くべきである。というのも(4割の新人社員がしくじった様に)､3÷1/3=3/1/3=(3/1)/3とすれば=3/3=1となり､不正解になる。
　これは後でも述べるが､”割り算における結合法則が成り立たない”事に大きく関係する。

　ネット上では､表記上仕方ないものの”式が意味不明である”上で､解けない理由を”ゆとり教育”を原因にしてると批判が殺到した。
　因みに､1980年代に同様の計算をした所､何と9割近くが正解だったという。
　しかし､そんな単純な問題だろうか？

算術の抽象性と曖昧さ

　しかし､この問題には算術(数論)という曖昧で抽象的な学問の暗い影が見え隠れする。
　｢数の概念｣でも書いた様に､私達が普段当たり前の様に計算してる事は､実は当たり前じゃない。
　例えば､”2×3=3×2が何故そうなるのか？”を知らないと大ケガをする。

　私達は小学校の時､四則演算の基本を学んだ筈だ。掛け算とわり算は足し算や引き算よりも優先されるから､掛け算とわり算は(括弧で括り)先に計算する。
　もしこの基本ルール(命題)を無視すれば､電卓みたいに､”9−3÷1/3+1”の答えが3になったり9になったりする。

　それに私達は､”加法や乗法について交換法則や結合法則が成立”する事も知っている。
　しかし､計算の仕方次第では､”9−3÷1/3+1”の交換法則は成り立たない。　
　そこで､”9−3÷1/3+1”を左から順に計算すれば､=9−3÷1/3+1=6÷1/3+1=6/3+1=3となる。
　ところが､右から順に計算すれば(少しややこしくなるが)､=9−3÷3/4=9−15/4=−21/4と､全く異なった答えになる。
　但し､割り算を括弧で括り､先に計算すれば､9−(3÷1/3)+1=9−(3×3)+1=1。これを右から計算すれば､=1+(3×3)−9=1となり､偶然にも交換法則が成り立つ。
　しかし3を6に変えれば､9−(6÷1/3)+1=9−(6×3)+1=−8だが､右から計算すれば､=1+(6×3)−9=10となり､交換法則は成り立たない。

　この様に､割り算を括弧で括るか括らないか､左から計算するか右から計算するかで､交換法則が成立したり成立しなかったりする。
　これは､割り算や引き算における交換法則と結合法則が”一般的には”成り立たないからである。
　こうした(当然正しいとされる)命題のしくみを知らないと､4割の不正解者の中に不幸にもアナタは含まれるかも知れない。

交換法則と結合法則

　前述した様に､足し算と掛け算に関して交換法則と結合法則が成り立つ事を､我々は小学校の時から何の疑いもなく､無意識に計算で使っている。
　3+5=5+3=8や3×5=5×3=15などは(証明しなくとも)当たり前とされる。故に､これらは”命題”と呼ばれる。

　しかし､これら交換法則や結合法則は､引き算や割り算の形のままでは成り立たない。3−5≠5−3や3÷5≠5÷3､(3−4)−5≠3−(4−5)や(3÷4)÷5≠3÷(4÷5)の様に”一般的には”成り立たないのだ。
　但し､引き算を足し算の式に､割り算を掛け算の式に直して計算すれば､3−5=3+(−5)=(−5)+3や3÷5=3×(1/5)=(1/5)×3の様に交換法則が成立する。
　また､引き算の結合法則も､3−4−5=3+(−4)+(−5)と足し算の形にすれば､(3+(−4))+(−5)=3+((−4)+(−5))=−6となり､同様に成り立つ。　
　割り算の結合法則も､3÷4÷5=3×(1/4)×(1/5)と掛け算の式にすれば､(3×(1/4))×(1/5)=3×((1/4)×(1/5))=3/20となり､成立する。
　つまり､引き算も割り算も足し算や掛け算の形にする事で､交換法則や結合法則が成り立つ。これは､”割り算も引き算も基本的には左から計算すべき”である事を示唆している。

　しかし感の鋭い人は､”足し算の形や掛け算の形にした時点で反則やん”って思うだろう。
　確かに､答えは最初から固定され､その上で交換&結合する訳だから､成り立つのは当然である。でもこれには理由がある。

　中学以上の数学では､(非常に使い勝手の悪い)割り算の符号”÷”を撤廃する理由として､交換法則や結合法則を利用できる様にし､計算効率を高める為だが。それ以外にも曖昧さや抽象性をなくし､計算ミスや混乱をなくすという利点がある。
　もっと判りやすく言えば､足し算や掛け算は何の工夫もせず正しい答えを導けるが､引き算と割り算は一寸した工夫(トリック)を使って正しい答えを導す。
　ただ､この”数のトリック”がとても抽象的で複雑なのだ。故に数学をマスターするには､色んな不可思議な公式やルールやトリックを覚える必要がある。
　確かに､数学嫌いが続出するのも当然ではある。しかし思考を鍛えるには､こうした苦難に満ちた数トレも時には必要なのだ。
　今の日本政府がアホなのは､こうした数学的思考が極端に弱く､混乱を相手にした時に無能をさらけ出すからだろう。

　
最後に〜数学に絶対はない？

　”素数分解の一意性”(=整数は素数の積に一意的に表せる)にてガウスが主張した様に､我らが”絶対とか当たり前”とか思ってる事は､それ自体が大きな矛盾を孕んでる事がある。
　つまり､”暗黙の内に了承されてるだけで厳密には証明されてない”のだ。
　それに”一般的には”と言っても､数学的に言えば危険で曖昧な言葉でもある。
　アーベルの世紀を揺るがす｢不可能の証明｣も､”一般的には”という言葉のお陰でガウスの叱責をもろに食らった。ガロアが呈示した様に”ルートと四則に限って”とすれば､何ら問題はなかったのだが。これも後の祭りである。

　例えば､1+1=2は2進法(1+1=10)では通用しない。1+2=3は2進法(1+2=11)でも3進法(1+2=10)でも通用しない。
　我らが標準で使ってる10進法は､数の集合のほんの一部に過ぎないのだ。

　特に算術(数論)ではこうした初歩的なトラブルが多い。
　かつてガウスが言った様に､”数論の法則は目に見えて現れるが､その証明は宇宙の闇に深く横たわっている”
　”フェルマーの定理の様な証明も反証もできない式は､いくらでも書き出せるさ”
　この2つの名言は､数論の不可思議性を強く物語ってると言える。

　つまり､”3÷1/3”という一見､バカでも解ける様な単純な計算には､算術(整数論)の奥深い謎と罠が秘められてたのだ。
　故にこの式は､整数論の抽象性と曖昧さを見事に露呈してるとも言えなくもない。
　という事で､自分のミスをはぐらかしてますが､ご勘弁をです(悲)。