素数を生み出すオイラーの2次式

オイラーの素数生成式　　：数学者エルンスト・オイラー（1707年～1783年）の素数生成２次式　ｘ^2+x+41は、ｘに0から39までの整数を順に入れると連続して40個の素数を生み、それ以降も高い確率で素数を算出する。下表は、連続整数xと2次式値、それが素数(prime?列が1）かを表す表の一部である。

x	x^2+x+41	prime?		x	x^2+x+41	prime?		x	x^2+x+41	prime?		x	x^2+x+41	prime?
0	41	1		100	10141	1		1000	1001041	1		10000	100010041	0
1	43	1		101	10343	1		1001	1003043	0		10001	100030043	1
2	47	1		102	10547	0		1002	1005047	0		10002	100050047	0
3	53	1		103	10753	1		1003	1007053	0		10003	100070053	0
4	61	1		104	10961	0		1004	1009061	1		10004	100090061	0

x＝0～99、100～199、1000～1099、10000～10099、100000～100099　という各100個の連続整数に対してPx＝x^2+x+41を計算すると、Px＝   41～9941、10141～39841、1001041～1208941、100010041～101999941、10000100041～10019909941となり、素数の場合右側に赤色セルで表示すると素数生成パターンが得られる(下図）。各列のPｘの中央値は5000、25000、1100000、101000000、10010000000で、各列の素数の個数は式値100個に対して、86、70、42、33、31個あり、各中央値付近の整数中の素数の存在確率(下図右1/3の5列）に比べると、桁違いに高い。オイラーの素数２次式の初めの整数0から39までに相当する40個の素数列41～1601の範囲にはこの式で表せない素数が200個あり、式は連続素数を表さないが、素数生成確率が非常に高い。ｘのより広い範囲0～100000に対しても高頻度で素数を算出する。

素数定理　：自然数の中に素数がどのくらいの「割合」で含まれているか表す定理。18世紀末にガウスが予想し、19世紀末に証明された後、1949年に２人の数学者が独立に初等的証明を与えたとされる。π(x)　～　x／ln (x)  、π(x)はx以下の素数の個数関数、lnは自然対数。　素数定理は広い範囲で近似の程度が比較的に高く、これから整数x付近の素数率は概略1／ln(x)であると想定される。

逆に素数を算出し難い2次式というものもある　：合成数生成式x＾2－ｘ＋219525　のx<10000での素数密度は2.33％とされる。図は、ｘ＝0～99、100～199、1000～1099、10000～10099、100000～100099　という各列100個の連続整数に対して、左から5列ずつ、オイラーの素数生成式、合成数生成式、および(前述中央値から始まる100個連続）整数中の素数の出現を赤色パターンで示すものである。左端と中央の各5列の素数率と右端5列の連続自然数中の素数率との差が明確である。また、素数生成式と自然数では、素数率が桁数増加につれて低下する傾向が見えるが、合成数（非素数）生成式にはこの傾向があまり明瞭でない。

オイラーは，２次多項式ｘ^2＋ｘ＋ｑ　において，ｑが素数　　２，３，５，１１，１７，４１のとき，０からｑ－２を代入するとすべて素数になることを見出している。しかし，素数　　７，１３，１９，２３，２９，３１，３７に対しては、これは成立しない。オイラーがこの事実を見つけた理由は何だったのか？　そして、この差が意味することが何なのか？　は小生には分からない。