高校入試と「空間図形:直線や平面の位置関係」
平面の決定条件、平面や直線の位置関係は空間図形の中でも難しい項目になります。
◎ 平面の決定条件: 1直線上にない3つの点を通る平面は1つに決まる
「平面」とは、平らに限りなく広がる面をいいますが、平面のもっとも
基本的な形は、3つの点を結んでできる三角形であり、三角形を
限りなく広げていけば1つの平面になります。このことを理解して、
「1直線上にない3つの点が決まる=1つの三角形ができる」
ことが平面の決定条件になります。
・1直線上にない3つの点が決まるための条件
1) 単に3点が存在するほかに、
2) 「1直線とその直線上にない別の1点が決まる」
1直線を決めるには2つの点が必要 → 2点+別の1点=3点
3) 「平行な2直線が決まる」
→ 2)と同じ
4) 「2直線が交わる」
2)同様、1直線を決めるには2つの点が必要 ―― ①
①の2点のうちの1点と直線上にない別の1点がもう1本の直線を決める ―― ②
→ 2点+別の1点=3点
の全部で4つの条件を覚えましょう。
◎ 空間内の2直線の位置関係は 「交わる」・「平行」・「ねじれの位置」 の3つ
「交わる」と「平行」であるときは同じ平面上にあり、 「ねじれの位置」にある2つの直線は平行でなく、しかも交わらない
ことを覚えます。
◎ 空間内の2平面の位置関係は 「交わる」・「平行」の2つ
◎ 空間内の直線と平面の位置関係は 「平行」・「交わる」・「平面上にある」の3つ
また、下図のように、平面Pと直線ℓが交わっていて、その交点を通る平面上の2直線 m,n とℓ が垂直であるならば、
直線ℓ⊥平面P となる
〈入試問題にチャレンジ〉
「次の図は、1辺の長さが 6㎝ の立方体である。AC と BD の交点をO、辺 EF, FG, GH, HE の
中点をそれぞれ P, Q, R, S とするとき」
(1) 立体 O-PQRS の名前を答えなさい。
(2) (1)の立体の体積を求めなさい。
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