高校入試と「等積変形や図形の面積比について」

 

高校入試と「等積変形や図形の面積比について」




・等積変形

　　　　　　　　　　三角形の面積＝底辺×高さ÷2　を踏まえて、

　　　　　　　　　　「どんな形の三角形も、底辺の長さと高さがそれぞれ等しければ面積は等しくなる」


これを利用するのが「等積変形」です。

　　「ある図形を〈面積〉の〈等しい〉別の図形に〈変形〉する」　からこのように呼びます。


等積変形の可能な条件

　　　　　　　・2つの三角形に共通する底辺がある

　　　　　　　・2つの三角形の底辺にない残りの頂点が底辺に平行な直線上にある

この条件を満たせば、底辺も高さも等しくなるので2つの三角形の面積は等しくなります。


　　　


・面積比

　　　　　　　　　　三角形の面積＝底辺×高さ÷2

の公式を利用して、

　　　　　　　　　　「2つの三角形の高さが等しければ面積比は底辺の長さの比に等しい」

ことがわかります。

　　　


たとえば、△ABCの頂点AからBCと交わるようなADをとると、

△ABDと△ADCの底辺AD, DC が同じ直線上にあり、　頂点が共通のAであることから、

高さは等しくなります。

このとき、底辺の比が　　AD：DC＝a：b 　ならば、高さをh とすると

　　　　　　　△ABDの面積＝1/2×a×h＝1/2ah
　　　　　　　△ADCの面積＝1/2×b×h＝1/2bh　より、
　　　　　　　　　面積比 △ABD：△ADC＝1/2ah：1/2bh＝a：b

もし、Dが辺BCの中点であるならば、ADは△ABCを2等分するので、

　　　　　面積比 △ABD：△ADC＝1：1　　となります。


　　演習問題１． m // n であるならば、面積比 △AOB＝△DOC であることを証明しなさい。

　　　　　　　

　　演習問題２． 平行四辺形ABCDにおいて、AE：EB＝2：1，BF：FC＝3：2，EG：GD＝2：5
　　　　　　　　　　であるとき、

　　　　　　　　　　　ア　面積比 △AEG：平行四辺形ABCD を答えなさい
　　　　　　　　　　　イ　AG：GF を求めなさい。

　　　　　　

 

 

 
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高校入試と「平行四辺形の定義と定理について」

高校入試と「平行四辺形の定義と定理について」




図形の「定理」は定義と違い複数存在するので、証明の方法も１通りとは限りません。

辺の長さだけでなく角度などを使った証明も可能になるので、「定義」と「定理」をすべて覚えて、

どの条件を証明に用いるべきかを判断できるようにしましょう。


◎ 平行四辺形： 2組の向かい合う辺がそれぞれ平行な四角形 （定　義）

　定　理1： 「平行四辺形の2組の向かい合う辺はそれぞれ等しい」

　〈証　明〉

　　　平行四辺形のACを結ぶ対角線を引きます

　　　

　　　△ABC と△CDA において、
　　　∠BAC＝∠DCA，∠BCA＝∠DAC　――　①　（平行線の錯角）
　　　AC＝CA　――　②　（共通の辺）

　　　①②より、　1辺とその両端の角がそれぞれ等しい2つの三角形は合同　であるから、
　　　△ABC ≡ △CDA 　である

　　　合同な図形の対応する辺の長さはすべて等しいので、
　　　AB＝CD, AD＝CB　である　・・・　証明終わり


　定　理2： 「平行四辺形の2組の向かい合う角はそれぞれ等しい」

　〈証　明〉

　　　定理1．のと同様に、補助線としての対角線ACを引き、△ABC≡△CDAであることを証明してから、

　　　合同な図形の対応する角度はすべて等しいので、
　　　∠ABC＝∠CDA，　∠BAC＝∠DCA，　∠BCA＝∠DAC
　　　∠BAD＝∠BAC＋∠DAC，　∠BCD＝∠BCA＋∠DAC　であるから、
　　　∠BAD＝∠BCD　・・・　証明終わり


　定　理3： 平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わる

　〈証　明〉

　　　平行四辺形のAC, BD を結ぶ2本の対角線を引きます。

      

　　　△ABO と △CDO において、
　　　∠OCD＝∠OAB， ∠OBA＝∠ODC　――　①　（平行線の錯角）
　　　AB＝CD　――　②　（平行四辺形の対辺）

　　　①②より、　1辺とその両端の角がそれぞれ等しい2つの三角形は合同であるから、
　　　△ABO ≡ △CDO　である。

　　　合同な2つの図形の対応する辺の長さはすべて等しいので、
　　　OB＝OD，OA＝OC　・・・　証明終わり


次に、この3つの定理の逆　「○○ならば平行四辺形である」　について復習します。


　定理1の逆： 「向かい合う2組の辺がそれぞれ等しい四角形は平行四辺形である」

　　　定理1同様、補助線ACを引けば、

　　　

　　　仮定より、AB＝CD，AD＝BC　――　①
　　　　　　　 　　　AC＝CA　――　②　（共通の辺）

　　　合同条件 「3辺がそれぞれ等しい」より、　△ABC ≡ △CDA

　　　合同な図形の対応する角はすべて等しいので、
　　　　　　∠BAC＝∠DCA　――　③　
　　　　　　　∠BCA＝∠DAC　――　④

　　　③④より、　錯角が等しい2つの直線は平行であるから、
　　　　　　AB // DC，　AD // BC

　　　よって、　

　　　向かい合う2組の辺が平行であるからこの四角形は平行四辺形である　・・・　証明終わり


　定理2の逆： 「向かい合う2組の角がそれぞれ等しい四角形は平行四辺形である」

　〈証　明〉

　　　平行四辺形ABCDのABの延長線BEを引きます

　　　

　　　仮定より、∠A＝∠C，∠B＝∠D　――　①
　　　　　　　∠A＝∠C＝x， ∠B＝∠D＝y  とすると
　　　　　　　　∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°　より
　　　　　　　　　　x＋y＋x＋y ＝360°　　2（x＋y）＝360°
　　　∴　 x＋y＝180°　――　③

　　　直線のつくる角は180°であるから、
　　　　　　　　　∠B＋∠CBE＝180°   　y ＋∠CBE＝180°
　　　③より、　∠CBE＝x 　――　④

　　　これにより、　∠A＝∠C＝∠CBE＝x   ――　⑤
　　　このとき、∠Aと∠CBEは同位角、∠Cと∠CBEは錯角に当たるので、

　　　⑤より、　AD // BC，  AB // DC

　　　よって、

　　　向かい合う2組の辺が平行であるからこの四角形は平行四辺形である　・・・　証明終わり


　定理3の逆： 「四角形の対角線がそれぞれの中点で交わるならば、この四角形は平行四辺形である」

　　　四角形ABCDのAC, DB を結ぶ対角線の交点をOとするとき、

　　　

　　　△ABOと△CDOにおいて、
　　　仮定より、AO＝CO，BO＝DO　――　①
　　　　　　　　　∠AOB＝∠COD　――　②　（対頂角）

　　　①②より、2辺とその間の角がそれぞれ等しい2つの三角形は合同 であるから、
　　　△ABO ≡ △CDO　である。

　　　合同な図形の対応する角はすべて等しいので、
　　　∠BAO＝∠DCO であり、錯角が等しいので　AB // DC　――　③

　　　同様に、△BCOと△DAOにおいて、
　　　仮定より、AO＝CO，BO＝DO　――　①
　　　　　　　　　∠AOD＝∠COB　――　②　（対頂角）

　　　①②より、2辺とその間の角がそれぞれ等しい2つの三角形は合同であるから、
　　　△BCO ≡ △DAO　である。

　　　合同な図形の対応する角はすべて等しいので、
　　　∠OCB＝∠OAD であり、錯角が等しいので　AD // BC　――　④

　　　③④より、向かい合う2組の辺が平行であるからこの四角形は平行四辺形である　・・・　証明終わり



〈演習問題にチャレンジ〉

　　　　　　　　　「四角形ABCDにおいて、AD＝BC, AD // BC であるならば、この四角形は平行四辺形で
　　　　　　　　　あることを証明しなさい」

　　　　　　　　　　




〈前回の演習問題の答え〉


　　　　　

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高校入試と「直角三角形の定義と定理について」

三角形の種類

高校入試と「直角三角形の定義と定理について」





◎ 直角三角形：　内角の1つが直角である三角形（定　義）

直角三角形の直角以外の2つの角を鋭角と呼び、それらの大きさの和が90°になります。

また、直角と向かい合う辺（対辺）を斜辺といい、残りの2辺を直角をはさむ2辺といいます。

ふつう、三角形の合同条件は3つ

　　　　　　　　・3辺がそれぞれ等しい
　　　　　　　　・2辺とその間の角がそれぞれ等しい
　　　　　　　　・1辺とその両端の角がそれぞれ等しい

でしたが、直角三角形にはほかにも2つ
　
　　　　　　　・斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい
　　　　　　　・斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい

という条件があります。


　　　1．「斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい2つの直角三角形は合同である」

　〈証　明〉

書かれた文章から、図のような2つの三角形をイメージします。

　　　　　

　　△ABCと△DEFにおいて、

　　　仮定より、

　　　　　AC＝DF　――　①
　　　　　∠A＝∠D，∠B＝∠E＝90°　――　②
　　　　　∠C＝180°－（∠A＋∠B）
　　　　　∠F＝180°－（∠D＋∠E）
　　　②より、∠C＝∠F　――　③

　　　①②③より、

　　　1辺とその両端の角がそれぞれ等しい2つの三角形は合同であるから、

　　　　　△ABC≡△DEF　・・・　証明終わり



　　　2．「斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい2つの直角三角形は合同である」

　〈証　明〉

　　　

　　　


　　　△ABCと△DEFを図のように、頂点A, D、頂点B, E が重なるようにならべて考えます。

　　　このとき、　∠CBF＝∠ABC＋∠DEF＝90°＋90°＝180°
　　　よって、C，B（E），F は一直線上にあることになるから、
　　　△ACFはAC＝DFの二等辺三角形になる。
　　　したがって、　∠C＝∠F　――　①　（二等辺三角形の底角）
　
　　　ここで、△ABCと△DEFにおいて、

　　　仮定より、AC＝DF　――　②
　　　　　　　　　AB＝DE　――　③
　　　　　　　　　∠B＝∠E＝90°　――　④

　　　また、　∠A＝180°－（∠B＋∠C）
　　　　　　　　∠D＝180°－（∠E＋∠F）
　　　①より、　∠A＝∠D　――　⑤

　　　①②⑤より、

　　　　　1辺とその両端の角がそれぞれ等しい2つの三角形
　　　　　（②③⑤より、2辺とその間の角がそれぞれ等しい2つの三角形）は合同であるから、

　　　　　△ABC≡△DEF　・・・　証明終わり

2．の証明では、「補助線」を用いるときと同じひと工夫が必要で、この場合、2つの直角三角形を

並べかえることで証明が可能になります。


〈演習問題にチャレンジ〉

　　　　　　　「∠BCD＝90°で、BDは∠ADCの二等分線である。点AからBDに垂線を引き、その交点をEとする。
　　　　　　　　BD＝ADであるとき、△BCD≡△AEDを証明しなさい」

　　　　　　　　　　



〈前回の問題の答え〉

　　　　　

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高校入試と「いろいろな三角形の定義と定理について」

高校入試と「いろいろな三角形の定義と定理について」



数学において、

　　　　　「定義」とは　「○○とは△△というもの（こと）である」　という物や事柄に与えられた意味であり、

　絶対的な「決まりごと」になります。一方、

　　　　　「定理」とは与えられた「決まりごと」ではなく、正しいことがすでに説明（証明）されたことがらになります。

　したがって、「定理」として使用するには、はじめに正しいかどうかを説明（証明）しなければなりません。


◎ 二等辺三角形：　2辺の長さが等しい三角形（定　義）

　　「定　理1」：　二等辺三角形の底角は等しい

　　　　　　　　　　これを証明するには、　「ある三角形において、2辺が等しければ、底角は等しい」　

　　　　　　　　　　という文章をつくります。

　　　　

　　「定　理2」：　二等辺三角形の頂角の二等分線は底辺を垂直に2等分する

　　　　　　これを証明するには、　「ある三角形において、2辺が等しければ、頂角の二等分線は底辺を垂直に二等分する」

　　　　　　という文章を作成します。

　　　　　

　　「定　理3」：　2角が等しい三角形は二等辺三角形である
　　　
　　　　　　これを証明するには、　「ある三角形において、2角が等しければ、二等辺三角形になる」　

　　　　　　という文章を作成します。

　　　　　



◎ 正三角形：　3辺の長さが等しい三角形（定　義）

　　「定　理」：　正三角形の3つの角は等しい

　　　　　　これを証明するには、　「ある三角形において、3辺がすべて等しければ3つの角はすべて等しい」

　　　　　　という文章を作成します。このとき、

　　　　　　3辺がすべて等しいことから、　「正三角形は二等辺三角形の特別な形」　と考え、

　　　　　　二等辺三角形の性質を利用します。

　　　　　

〈演習問題〉

　　　　　　　　「AD // BCである台形ABCDの対角線ACが∠BCDの二等分線になっているとき、
　　　　　　　　△ADCが二等辺三角形になることを証明しなさい」

　　　　　　　

〈前回の入試問題の答え〉

　　　　　　

　〈証　明〉

　手　順1．合同対象を明らかに
　
　　　　　　　△BCF と△DCE において、

　手　順2.　仮定や図形の性質による説明

　　　　　　仮定より、　BC＝DC　――　①　（正方形の1辺）
　　　　　　また、　CF＝CE　――　②　（直角二等辺三角形の2辺）　
　　　　　　∠BCD＝∠FCE＝90°　であり、
　　　　　　∠BCD＝∠BCF＋∠FCD、　∠FCE＝∠FCD＋∠DCE
　　　　　　よって、　∠BEF＝∠DCE　――　③

　手　順3．当てはまる合同条件を述べる

　　　　　　①～③より、
　　　　　　2辺の長さとその間の角がそれぞれ等しい2つの三角形は合同である

　手　順4．結論づけ

　　　　　→　△BCF≡△DCE　である　　・・・　　証明終わり

　　　

 

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高校入試と「合同の証明」

高校入試と「合同の証明」




数学において「合同」は、

　　　　　　　「2つの図形の一方を移動して他方に重ねたとき、ぴったりと重なり合う状態」

をいいます。

三角形については、わざわざ重ね合わせなくても「合同」であると判断する手段があり、

「三角形の合同条件」　に当てはめることになります。

上の図のように、三角形の合同条件は3つ

　　　　　　　　1）　3辺の長さがそれぞれ等しい

　　　　　　　　2）　2辺の長さとその間の角度がそれぞれ等しい

　　　　　　　　3）　1辺の長さとその両端の角度がそれぞれ等しい


〈合同の証明〉

　「証明」するとは、仮定や図形の性質などを根拠に与えられた命題が正しいと

結論づける　ことをいいます。

　　　　「仮定」は、あらかじめ与えられている「決まりごと」　のことで、

　　　　「結論」は与えられた命題が正しい事柄であると導き出すこと。

証明するとき、　「○○という理由から、××である」　という形の文章表現をしますが、

「〇〇」に当たる部分が仮定や図形の性質を表し、

「××」に当たる部分が結論（2つの三角形は合同である）になります。


〈証明の手順〉

「2つの三角形は合同である」　と結論づける文を完成させる手順をしっかり覚えてください。

　　　　　　　手 順 1．証明の対象を明らかにする
　　　　　　　　　　　　　　　　　　→　どの図形とどの図形についての証明か

　　　　　　　手 順 2．証明の対象について、仮定や図形の性質を述べる

　　　　　　　手 順 3．3つの合同条件のどれを用いるか明らかにする
　　　　　　　　　　　　　　　　　→　「手順2 から〇〇の合同条件が成り立つ」　という説明

　　　　　　　手 順 4．結論づける


〈合同を利用する問題〉

入試問題では、「2つの三角形が合同であるから△△が成り立つ」という別の性質を導き出させるものが

よく出題されます。主に、角度や線分の長さに関するものになり、

　　　　　　　「合同な図形の対応する辺や角は等しいから△△である」　

という文章を作成します。


・入試問題にチャレンジ：

　　　　　　　「図において、四角形ABCDは正方形であり、△CEFはCE＝CF の直角二等辺三角形である。
　　　　　　　このとき、△BCF≡△DCE であることを証明しなさい」

　　　　　　　　

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