問題：図のように、線分AB を直径とする半円O があり、弧AB 上に点C をとり、△ABC をつくります。
ただし、AC > BC とします。点C を中心として、線分CB を半径とする円C をかき、弧AC との
交点を D とします。また、線分AB を点 B の方へ延長した直線上に AD = BE となる点 E を
とります。このとき、△CAE は二等辺三角形であることを次のように証明しました。
次の問いに答えなさい。
証 明
図の点 B と点 D , 点 C と点 D をそれぞれ結ぶ
△ACD と △ECB において、
( ア ) に対する円周角は等しいので、
∠BAC = ∠BDC ―― ①
線分AB は直径であるから、
∠ACB = ∠ADB = 90° ―― ②
∠CBE は△ABC の頂点 B における ( イ ) なので、
∠CBE = ∠ACB + ∠BAC ―― ③
①②③ より、
∠CBE = ∠BDC + ∠ADB
= ∠CDA ―― ④
( ウ )
問 1 ア、イ に当てはまることばや記号を答えなさい。
問 2 ウ には証明の続きをかいて、証明を完成させなさい。ただし、① ～ ④ で示された関係を、
① ～ ④ の番号を使って述べてもよい。
基礎固めが一通りできたなら、なるべく入試に対応した「融合問題」に挑戦するようにします。
1つの項目に特化したものだけでは不足です。
入試直前に短期間で修得できる性質のものではないので、
日ごろから少しずつこなすような計画を立てます。
解 答
問 1 ア 弧BC イ 外角
問 2 ウ：
仮定より、AD = EB ―― ⑤
線分CD は円 C の半径に当たるので、
CD = CB ―― ⑥
④⑤⑥ より、
2辺とその間の角がそれぞれ等しい2つの三角形は合同であるから、
△ACD ≡ △ECB ―― ⑦
合同な2つの三角形の対応する辺の長さはすべて等しいので、
∠AC = EC
よって、2辺の長さが等しい三角形は二等辺三角形であるから、
△CAE は二等辺三角形である ・・・ 証明終わり
