多項式では、主に「式の展開」と「因数分解」について学習します。
式の展開では4つの乗法公式をマスターします。
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
(x + a)2 = x2 + 2ax + a2
(x - a)2 = x2 ‐ 2ax + a2
(a + b)(a - b) = a2 - b2
これらを頭に入れながら、
複雑な文字式の展開をする場合、式をいくつかのかたまりに直し、
A や B などの大文字に置きかえて乗法公式をつくれるようにします。
一方、因数分解の手順は2つ
・共通因数をくくり出す
・乗法公式に当てはめる
これだけです。
複雑な式の因数分解の場合、部分的に共通因数をくくり出したり、
乗法公式に当てはめて、最終的に多項式の積の形にします。
入試では、上記公式以外によく出るタイプの展開や因数分解があります
(a+1/a)2 = a2+2(a×1/a)+1/a2 = a2+2+1/a2 より
a2+1/a2 = (a+1/a)2 - 2 の関係
(x+1)(y+1) ⇔ xy+x+y+1 を基本に、
xy- 4x - 3y+12 = (x - 3)(y - 4) へ因数分解
xy2 - x - 3y2+3 では、 y2 = A に置きかえて、
xA - x - 3A+3 = (x - 3)(A - 1)
(x - 3)(y2 - 1) = (x - 3)(y+1)(y - 1) へ因数分解
これらのタイプは、よく出題されるので、乗法公式とともに覚えておいてください。
入試問題にチャレンジ
1. 次の空所に当てはまら記号や数を入れなさい。
(x+a)(x - a) を展開すれば 「 」
これを利用して、
303×297 = 「 」-「 」 = 「 」 となる
2. 次の計算をしなさい。
1498×1495-3003×1496+1502×1494
? ヒント:各項の数に着目すると 1500 を思い浮かびます ?
3. 次の計算をしなさい。
(222)^2-2×222×97+(97)^2-(187)^2-2×187×90-(90)^2
* ^2 : 2乗 を表す
? 2つの展開式 (222)^2-2×222×97+(97)^2 と -{(187)^2-2×187×90-(90)^2} について因数分解を利用します ?
- 解 説 -
1. (x+a)(x - a) を展開すれば「 x2 - a2 」
これを利用して、
303×297 = 「 90000 」 - 「 9 」 = 「89991」 となる
← 303×297 = (300+3)(300 - 3) = 90000 - 9 = 89991
2. 式を整理します
1498×1495 - 3003×1496+1502×1494
= (1500 - 2)(1500 - 5) - (2×1500+3)(1500 - 4)+(1500+2)(1500 - 6)
1500 = x に置きかえて、
(x - 2)(x - 5) - (2x+3)(x - 4)+(x+2)(x - 6)
= x2 - 7x+10 - 2x2+5x+12+x2 - 4x - 12
= x2+x2 - 2x2 - 7x+5x - 4x+10+12 - 12
= - 6x+10
よって、
- 6×1500+10 = - 90000+10 = - 8990 … 答え
3. 222^2 - 2×222×97+97^2 - 187^2 - 2×187×90 - 90^2
= 222^2 - 2×222×97+97^2 - (187^2+2×187×90+90^2)
222 = A, 97 = B, 187 = C, 90 = D に置きかえて、
A^2 - 2AB+B^2 - (C^2+2CD+D^2)
= (A - B)^2 - (C+D)^2
もとにもどして、
(222 - 97)^2 - (187+90)^2
= (125)^2 - (277)^2
(a+b+c)2 = a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca より、
= (100+20+5)2 - (200+70+7)2
(100+20+5)2 = (100)2+(20)2+(5)2+2(100)(20)+2(20)(5)+2(5)(100)
= 10000+400+25+2×2000+2×100+2×500 = 10425+4200+1000 = 15625
(200+70+7)2 = (200)2+(70)2+(7)2+2(200)(70)+2(70)(7)+2(7)(200)
= 40000+4900+49+28000+980+2800
= 40000+28000+4900+2800+49+980
= 68000+7700+1029 = 76729
よって、
15625 - 76729 = - 61104 … 答え