高校入試数学［短期］マスター講座 第4回

 

　　中学校で学習する方程式は1次方程式、連立方程式、2次方程式ですが、

今回は2年生で学習する連立方程式の計算問題です。

　　　　　　　　　１．次の連立方程式を解きなさい。

　　　　　　　

　連立方程式の計算では、方程式を解く際の手順がしっかり身に着いて

いるかが試されます。

　（1）　連立方程式の一方がすでに x = 〇〇,  y = △△ の形になっていれば

　　　　　「代入法」で解くのが適切ですから

　　　　　　　　・連立方程式を代入法で解く

　　　　　　　　　　x = -4y + 15　 を上の式に代入する

　　　　　　　　2（-4y + 15） + 3y = 10   
　　　　　　　　-8y + 30 + 3y = 10  
　　　　　　　　- （8 - 3）y = 10 - 30   
　　　　　　　　　　　　-5y = -20  　 y = 4

　　　　　　　　・y = 4  を下の式に代入する

　　　　　　　　x = -4 × 4 + 15
　　　　　　　　　 = -16 + 15 = -1　　x = -1 

　　　　　　　　・x = -1. y = 4 を上の式に代入して連立方程式の解として正しいか確認する

　　　　　　　　　　　　2x + 3y = 10  　において　

　　　　　　　　　　　　左　辺＝2 × -1 + 3 × 4 = -2 + 12 = 10　
　　　　　　　　　　　　右　辺＝10

　　　　　　　　　∴　答　え　　x = -1,  　 y = 4

　（2）　A = B = C の形の方程式では　A = B,  C = B / A = C,  B = C
　　　　
　　　　　のように2組の式に整理します。組み合わせはどれでもよいのですが、より計算しやすいものにします。

　　　　　　　　・2x + y + 2 = A,   3x + 5y - 11 = B,   -x - 2y + 5 = C 　
　　　　　　　　　として　A = C,  B = C の組み合わせにする

　　　　　　　　2x + y + 2 = -x - 2y + 5
　　　　　　　　2x + x + y + 2y = 5 - 2   　　　3x + 3y = 3　――　ア

　　　　　　　　3x + 5y - 11 = -x - 2y + 5
　　　　　　　　3x + x +5y + 2y = 5 + 11 　　 4x + 7y = 16　――　イ

　　　　　　　　・これを加減法で解く。　xの係数を合わせるため、アの式の両辺に4を、イの式の両辺に3を
　　　　　　　　　それぞれ掛け、「ア－イ」によりxを消去する

　　　　　　　　　　12x + 12y = 12
　　　　　　　　 -) 12x + 21y = 48
    　　　　　　　　　　     -9y = -36  　  y = 4

　　　　　　　　・y = 4 をアの式に代入する

　　　　　　　　　3x + 3 × 4 = 3   
　　　　　　　　　3x + 12 = 3  
　　　　　　　　　3x = 3 - 12 = -9   　　x = -3

　　　　　　　　・x = -3, y = 4 をもとのA～Cの式に代入して連立方程式の解として正しいか確認する

　　　　　　　　　A = 2x + y + 2 = 2 × -3 + 4 + 2 = -6 + 6 = 0
　　　　　　　　　B = 3x + 5y - 11 = 3 × -3 + 5 × 4 - 11  = -9 + 20 - 11 = 11 - 11 = 0
　　　　　　　　　C = -x - 2y + 5 = - (-3) - 2 × 4 + 5  = 3 - 8 + 5 = -5 + 5 = 0

　　　　　　　　∴　答　え　x = -3, 　 y = 4

 

　（3）　「2組の連立方程式の解が一致する」　とは　「2組の連立方程式のx，y の値が同じ」

　　　　ということです。よって、まず、アの連立方程式を解いてx, y の値を求めてから、それらをイの

　　　　式へ代入します。

　　　　　　　　・アの上の式を　x = y + 2 　に変えて下の式へ代入する

　　　　　　　　

　　　　　　　　・y の値を x = y + 2  の式に代入する

　　　　　　　　

　　　　　　　　・x = 17 / 3, 　 y = 11 / 3　をイの式に代入する。このとき、上の式は分数を含まない式に直し、
　　　　　　　下の式は約分して整理する

　　　　　　　　

　　　　　　　　・「ウ　+　エ」　により b を消去する

　　　　　　　　

　　　　　　　　・a の値をウの式に代入する

　　　　　　　　


　　　・a = 22/17,　 b = 8/11 をもとのイの式に代入する

　　　　　　　　　　

　
　　各問題における連立方程式の一連の解き方をしっかりマスターしてください。

 

　桜華塾　数学学習講座‐連立方程式 〉〉

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入試英単語［短期］マスター講座 第6回

今回は頭文字［ i ］の単語からです。

ill　［íl］　［形］：叙述用法　…　病気で、具合が悪くて / 病気になって
　　　　　　　　　　 　　限定用法　…　悪い、下手な（= bad）、（健康が）すぐれない
　　⇒　illness　［ílnəs］　ill・ness    

・主な文法的用法    
　　［異なる品詞で同じ意味の文］    
　　　　　名　詞　…　前置詞の目的　「病気のため」
　　　　　形容詞　…　節中の主格補語　「病気だったので」

　　　　　　　　　He was absent from school because of illess (sickness).     
　　　　　　　　　 = He was absent from school because he was ill  in bed.     
     　　　　　　　　　　　　病気のため、彼は学校を欠席した

　　* 類義語： sick　
　　　　　sick は主に限定用法の形容詞で「病気の、具合の悪い」の意味に用いる

　　　　　　　　　　She is taking care of sick people.
　　　　　　　　　　　　病人の世話をしている

immediate　［imí:diət］　im・me・di・ate　
　　　　　　　　　　　［形］：限定用法　…　直接の / 即座（時）の、早速の / （時間・関係が）ごく近い
　⇒　immediately　［imí:diətli］　im・me・di・ate・ly
　　　　　　　　　　　［副］：ただちに、早速 / 直接 / ごく近くに

・主な文法的用法    
　　［異なる品詞で同じ意味の文］    
　　　　　形容詞　…　名詞を修飾　「即座の電話」
　　　　　副　詞　…　動詞を修飾　「即座に電話する」

　　　　　　　　　Please give me an immediate call when you arrive there.     
　　　　　　　　　　= Please call me immediately when you arrive there.    
　　　　　　　　　　　　　到着したなら、すぐにお電話ください

impossible　［ìmpάsəbl］  im・pos・si・ble 
　　　　　　　　　［形］：限定用法　…　不可能な、考えられない、あり得ない（起こりえない）
　　　　　　　　　　　　　叙述用法　…　不可能で、～しかねて    
 　　　　　⇔　possible　［pάsəbl］  pos・si・ble 
　　　　　　　　　［形］：限定用法　…　可能な、考えられる、ありうる（起こりうる）
　　　　　　　　　　　　　叙述用法　…　可能で、ありそうで、   
　⇒　impossibly  ［ìmpάsəbli］  im・pos・si・bly 
　　　　　　　　　［副］：ありそうになく、途方もなく、極端に（形容詞を修飾）    
　　　　　 ⇔　possiblly　［pάsəbli］  pos・si・bly 
　　　　　　　　　［副］：　あるいは、ひょっとして（文全体を修飾）
　　　　　　　　　　　　　/（canとともに）どうしても、できる限り［肯定文で］；
　　　　　　　　　　　　　　どうしても［とても］～ない［否定文で］；
　　　　　　　　　　　　　　何とか、どうにかして［疑問文で］   
　⇒　impossibility  ［ìmpὰsəbíləṭi］  im・pos・si・bil・i・ty 
　　　　　　　　　［名］：不可能なこと、起こり得ないことこと（可）/　不可能（不可）    
　　　　　 ⇔　possibility  ［pὰsəbíləṭi］  pos・si・bil・i・ty 
　　　　　　　　　［名］：可能なこと（可）/可能（性）（不可）   

・主な文法的用法         
　　　［異なる品詞で同じ意味の文］    

　　　　　　　It's impossible for me to run so [as] fast as you.     
　　　　　　　= It's an impossibility for me to run so [as] fast as you.
　　　　　　　=Running so fast as you is impossible for me.
　　　　　　　= I cannot run so [as] fast as you.    
　　　　　　　　　　　　　　きみほど速く走れない

    
　　　　　　　The math problem is an impossibly difficult one for me.　　　←　ありそうになく難しい　     
 　　　　　　　= I cannot possibly solve the math problem.     　←　どうしても解けない
　　　　　　　　　　　　　　　その数学の問題はとても難しくて歯が立たない

    
interest  ［íntərəst］  in・ter・est　
　　　　　　　　　［名］：興味、関心［in］（不可）；関心事、趣味（可）　
　　　　　　　　　［動］：（人に）興味を起こさせる    
　⇒　interested  ［íntərəstid］　in・ter・est・ed　
　　　　　　　　　［形］：限定用法　…　興味を持った、興味深い
　　　　　　　　　　　　　叙述用法　…　（人が物に）興味を持って    
　⇒　interesting  ［íntərəstiŋ］  in・ter・est・ing　
　　　　　　　　　［形］：（物が人に）興味を起こさせる、おもしろい［to］    

・主な文法的用法         
　　　［動詞は他動詞で目的語は（人）］    
　　　［2つの形容詞の主語の使い分け］    
　　　［異なる品詞で同じ意味の文］
　　　　　　　　　　　　：音楽にあまり興味がない
    
　　　　　　　　　　I'm not very interested in the music.  
　　　　　　　　　　　　　私が音楽に興味がない  
　　　　　　　　　　　= The music is not very interesting to me.     
　　　　　　　　　　　　　　　音楽が私に興味を起こさせない
　　　　　　　　　　　= I don't have much interest in the music.     
　　　　　　　　　　　　　　　私が音楽に興味を持たない
　　　　　　　　　　　= The music doesn't interest me very much.
　　　　　　　　　　　　　　音楽が私に興味を起こさせない     
    

kind　［káind］　［形］：限定用法　…　親切な、やさしい
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　叙述用法　…　親切で
　　　　　　　　　　　　　　　　［名］：種類［of］、（動植物の）種、属　    
kindly　［káindli］　kind・ly
　　　　　　　　　　　　　  　　 ［副］：親切に（も）、やさしく、快く 
　　　　　　　　　　　　　　　　［形］：限定用法　・・・　（目下の人に）親切な、やさしい    
kindness　［káindnəs］　kind・ness 
　　　　　　　　　　　　　　　　［名］：親切、やさしさ（不可）/　親切な行い（可）

・主な文法的用法    
　　　［異なる品詞で同じ意味の文］
　　　　　　　　　：窓を開けてくれてどうもありがとう    

　　　　　　　　　　You're kind to open the window.
　　　　　　　　　　　　　あなたが窓を開けることが親切だ    
　　　　　 　　　　　= It's kind of you to open the window.
　　　　　　　　　　　　　　　あなたにとって窓を開けることが親切だ     
 　　　　　　　　　　= Thank you kindly for opening the window.
　　　　　　　　　　　　　　　窓を開けることに対して心からあなたに感謝する    
　　　　　　　　　　 = You have done me the kindness to open the window.
　　　　　　　　　　　　　　　あなたが窓を開けるよう私に親切にした
     
    
large　［lάɚdʒ］　［形］：（形が）大きい、大型の、（面積・広さ・規模が）大きい、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　広い、（数量などが）多くの、大きい　
　　　　　　　　　　　　　　　　［副］：大きく    
　⇒　largely　［lάɚdʒli］　large・ly
　　　　　　　　　　　　　　　　［副］：主に、大部分（は）、大きく、豊富に（比較なし）    

・主な文法的用法    
　　　* largely は比ゆ的に「大きく」を表す    
　　　* 類義語
 　　　　　　large は数量に用いるが big は用いない　great は「りっぱな、堂々とした」の意味でも用いる    
　　　* 形や面積の大小を表す場合の名詞は size を用いる
    
　　　　　　　　　　This is about twice as large as that one.      
　　　　　　　　　　=  This is about twice the size of that one.     
    
　　　　　　　　　　This is largely separated three kinds.      
　　　　　　　　　　　　　これは主に3種類に分けられる    

　　　　　　　　The problem will be largely improved.    
　　　　　　　　　　　　問題は大きく改善されるだろう

以下次号

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入試数学［短期］マスター講座 第4回

　第1問中の小問題に必ず出題されるのが方程式の計算です。 そのうち、今回は1次方程式の計算についてです。 


1次方程式　「公立校入試問題」


　　　　　　　1．次の1次方程式を解きなさい。

　　　


　　分数を含む方程式では　

　　　　　　　　　　( i ) 　分母をはらう（分数を含まない式にする）　

　　　　　　　　　　( ii ) 　文字の項を左辺に、数の項を右辺に移項する　

　　　　　　　　　　(iii)　 両辺をそれぞれ計算して簡単にする　

　　　　　　　　　　(iv) 　文字の係数を右辺に移し、右辺を計算する　

　　の手順で解きます。


　　　　　

　　　　　



1次方程式　「私立校入試問題」　　


　　　　　　　　　　2．2つの数x，yについて、演算 x ■ y を以下のように約束する。

　　　　　　　　　　　x ■ y = x × y - x - y   このとき、 （3 ■ a） ■ 5 = 7　を満たす a の値を求めなさい。

　与えられた条件より　

　　　　　


のように変形できる。さらに、　3 ■ a = A　 として式を整理します。　

　　　　　　　　　　（3 ■ a） ■ 5 = A ■ 5　　
　　　　　　　　　　　= A × 5 - A - 5
　　　　　　　　　　　= 5A - A - 5
　　　　　　　　　　　= 4A - 5　

　A に 2a - 3 を代入して　

　　　　　　　　　　4A - 5 = 4（2a - 3） - 5
　　　　　　　　　　　　　　 = 8a - 12 - 5
　　　　　　　　　　　　　　 = 8a - 17　

　よって、　

　　　　　　　　　　　　　　　8a - 17 = 7　　
　　　　　　　　　　8a = 7 + 17　
　　　　　　　　　　8a = 24　　a = 3


　このような問題では、文字を使って複雑な式を簡単なものに直し、整理してから計算するようにします。

授業で学習した内容をしっかり身に着ける！
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入試英単語［短期］マスター講座 第5回

 

今回は、頭文字が［e］から［h］までの単語です。


・easy　［í:zi］　eas・y　［形］：　簡単な、容易な  
　⇒　easily　［í:zili］　eas・i・ly　［副］：　容易に、楽に  
　⇒　ease　［í:z］　［名］：　容易
  
　　　　　　　　　　The English book is easy for children to read.    
　　　　　　　　　　　= It's easy for children to read the English book.   
　　　　　　　　　　　= Children can read the English book easily.  
　　　　　　　　　　　= Children can read the English with ease.  
　　　　　　　　　　　　　　　　子供たちにはその英語本は読みやすい  

〈主な文法的用法〉
  
　　　*［異なる品詞で同じ意味の文］   
 
　　　　　　　［その英語の本は読みやすい］　…　形容詞 
　　　　　　　［子供たちがその英語の本を読みやすい］　…　形容詞
　　　　　　　［子供たちは容易に読める］　…　副詞／名詞  
  

・famous　［féiməs］　fa・mous　［形］：　有名な　  
　⇒　fame　［féim］　［名］：　有　名  

　　　　　　　　　　Columbus is very famous for his discovery of America.    
　　　　　　　　　　 = Columbus' discovery of America brought him fame.  
　　　　　　　　　　　　　　コロンブスはアメリカ発見でとても有名です

〈主な文法的用法〉  

　　　*［異なる品詞で同じ意味の文］  

　　　　　　 ［アメリカ発見で有名だ］　…　形容詞 
　　　　　　 ［アメリカ発見が有名をもたらした］　…　名　詞 
  

・gold ［góuld］ ［名］：　金、黄金 / 金貨 / 金色　　［形］：　金の、金製の  
　⇒　golden　［góuldn］　gold・en　［形］：　金色の　  

　　　　　　　　　　Do you know that girl with golden hair ?
　　　　　　　　　　　　あちらの金髪の女の子をご存知ですか
    
　　　　　　　　　　Whose is this gold coin ?  
　　　　　　　　　　　　この金貨はだれのものですか

〈主な文法的用法〉  

　　　 *［同じ形容詞で意味が異なる］ 

　　　　　　 ふつう、「色」を表現するには golden を用いる 
  

・happy　［hǽpi］　hap・py　
　　　　　　　　　　［形］：　幸せな、楽しい、うれしい、満足な  
　　　　⇔　unhappy　［ʌ̀nhǽpi］　un・hap・py　
　　　　　　　　　　［形］：　不幸な、不快な、悲しい、不満な  
　⇒　happiness　［hǽpinəs］　hap・pi・ness　
　　　　　　　　　　［名］：　幸福、満足  
　⇒　happily　［hǽpili］　hap・pi・ly　
　　　　　　　　　　［副］：　幸せに、楽しく  

　　　　　　　　　　They lived a happy life after that.    
　　　　　　　　　　　= They lived happily after that.   
　　　　　　　　　　　= They lived in happiness their life after that.  
　　　　　　　　　　　　　　　2人はその後幸せに暮らしました  

　　　　　　　　　　We are happy to hear that he comes to the party tonight.  
　　　　　　　　　　 ⇔　We are unhappy to hear that he cannot come to the party tonight.  
　　　　　　　　　　　　　　　彼が今夜パーティーに来てくれると聞いてうれしい  
　　　　　　　　　　　　⇔　彼が今夜パーティーに来られないと聞いて悲しい

・heavy　［hévi］　heav・y　［形］：　（重量が）重い /  体重の太った /
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（量や程度が）激しい、大量に～する /
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（仕事が）きつい、つらい/ （日程などが）きつい /
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（態度・雰囲気が）重々しい、威厳がある
  
　⇒　heavily　［hévili］　heav・i・ly　［副］：　重く、重々しく /  ひどく、はげしく
  
　　　　　　　　　　We had heavy snow last night.   
　　　　　　　　　　　= It snowed heavily last night.  
　　　　　　　　　　　　　　昨夜は大雪になった

〈主な文法的用法〉

　　　*多義語
　　　　　重さのほかに量や程度、態度などの重々しさを表す  

　　　*［異なる品詞で同じ意味の文］  

　　　　　 「ひどい雪が降る＝大雪になる」　・・・　形容詞 
　　　　　 「ひどく雪が降る＝大雪になる」　・・・　副　詞 

　　　　　　　　　　This box is twice as heavy as that one.   
　　　　　　　　　　 =  This box is twice the weight of that one.  
　　　　　　　　　　　　　　　この箱はあの箱の2倍の重さがある

　　　*重い（軽い）の名詞は「重さ（軽さ）＝重量」  
　　　　 weight　［wéit］ で表す 
  

・high　［hái］　［形］：　（高さが）高い/高い（ところにある）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　/（学問、品質、身分など）高い、上級の/
　　　　　　　　　　　　　　　　　　（価値・割合などが）高い/（声の調子など）高い   
 　　　　　　　　　　　　　［副］：　高く 、高価に
　⇒　highly　［háili］　high・ly　
　　　　　　　　　　　　　［副］：　高く、大いに　（比ゆ的に用いる）  
　⇒　height　［háit］　［名］：　高さ  

　　　　　　　　　　That building is twice as high as my house.
　　　　　　　　　　　= That building is twice the height of my house.
　　　　　　　　　　　　　　　　あの建物は私の家の2倍の高さです
  
〈主な文法的用法〉  

　　　* 多義語

　　　　　高さのほかに価格や身分などが高いことを表わす

　　　*［異なる品詞で同じ意味の文］  

　　　　　 「自分の家と比べて2倍高い」　・・・　形容詞 
　　　　　 「自分の家と比べて2倍の高さ」　・・・　名　詞 

　　　* 高い（低い）の名詞は「高さ（低さ）＝height」で表す（発音に注意）

　　　　　　　　　　Many people value the picture highly.
　　　　　　　　　　　　　その絵を高く評価する人が多い  

　　　　　　　　　　The higher we climb, the colder it becomes.  
　　　　　　　　　　　　　高く昇れば上るほど、寒くなる

  
・hungry　［hʌ́ŋgri］　hun・gry　
　　　　　　　　　［形］：　腹の減った、飢えた / （叙述用法で）～にあこがれて、～を望んで  
　⇒　hunger　［hʌ́ŋgɚ］　hun・ger　
　　　　　　　　　［名］：　空腹、飢え / あこがれ  

　　　　　　　　　　He felt hungry then.
　　　　　　　　　　 = He felt hunger then.  
　　　　　　　　　　　　　　　そのとき彼は空腹感をおぼえた

〈主な文法的用法〉

　　　* 空腹（の） から （～への）あこがれ / （～に）あこがれて の意味へ発展  
　　　* ［異なる品詞で同じ意味の文］  

　　　　　　　 「空腹であると感じた」　・・・　形容詞 
　　　　　　　 「空腹を感じた」　・・・　名　詞 

　　　　　Hunger is the best sauce.  
　　　　　　　空腹にまずいものなし　（ことわざ）

　英語で「幸せな暮らしを生きた」　も　「幸せに生きた」も日本語では、

「幸せに暮らした」　と表現します。

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入試数学［短期］マスター講座 第3回

引き続き、入試問題の第1問中の9つの小問題について考察します。

次は、根号（ルート）を含む数の計算です。


　　　　　　　（1）　√27 - 15 ÷ √3　　を解きなさい。


平方根の計算では、分数を含むものに注意します。

分母に根号を含む数があるときは「有理化」して整理しますが、有理化と通分を混同して、

15/√3　だけでなく　√27　にも　√3　を掛けないように。

　　　




　　　　　　　（2）　次の問題を解きなさい。


　　　　　


この問題は、私立の進学校の入試問題によく見られます。

両方ともカッコ内が3数以上の加減の式の積になっています。このようなときは、

（　　　）内を2数にまとめる工夫をします。


　①　（　　　）内を2数に整理するため、文字式に直します


　　　

上のように、　1, -1, （√2＋√3）, （√2－√3） 　の4つの組から成る式に変形できました。

そこで、　√2 + √3 = a、　√2 - √3 = b　　にかえ、文字式に直します。


　　　

この式の文字に、もとの数値を代入して



　　　


　　　②　（　　　）内が4数の加減で構成されているので、①のように同じ要素の2文字から成る式に変形します。


　　　

上の式より、

　　　　　　　　　　√2 + √3 = a, 　√2 - √3 = b,　√5 + √6 = c, 　√5 - √6 = d　

にかえて文字式で表すと、


　　　

ここで、それぞれの文字にもとの数を代入しますが、計算しやすいように先に1文字ずつ値を求めます。


　　　

よって、



　　　


このような複雑な計算問題を正確に、スピーディーにこなすためには、日ごろから同じような問題をいくつも解いて、

解き方を完璧に身に着けていなければなりません。そうすれば、あわてて計算ミスをせずにすみます。

これはあくまでも第1問中の9つの小問題にすぎないことを覚えておいてください。



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