高校入試数学［短期］マスター講座 第13回の答えです！

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問 1：　円錐の高さを x として直角三角形CAO について考えます。
　　　　この円錐の母線は 12cm ですから △CAB は二等辺三角形になり、

　　　　　　　　　　　　　　　「円錐の高さ＝△CAB の垂直二等分線」

　　　　の関係が成り立ちます。よって、　△CAO において　
　　　　AO = 4cm,  CO = xcm,  CA = 12cm　となり三平方定理により、
　　　　

　　　　　　　　　

　　　　　　　　　



問 2　　図4のように、母線CBの中点Dを通りABと平行な線分D'Dをとると

　　　　　△CD'D と △CABにおいて
　　　　　中点連結定理より　△CD'D = 1/2△CAB　から　DH = 1/2CO = 4√2cm　――　①
　　　　　D'D = 1/2AB = 4cm　であるから　AH = 6cm　――　②

　　　　　①②より、直角三角形DAH の3辺の関係は三平方定理より

　　　　　　　　　

　　　　　　　　　



問 3　　点AからBCを通り点Aまで1回巻きつけた中で、最も短い長さになるのは、図 5のような
　　　　　円錐の側面の展開図であるおうぎ形において、A～A' 間を直線で結んだ場合になります。

　　　　　　　　

　　　　　直線の長さは、二等辺三角形CAA' の頂角の二等分線CPによってできる2つの直角三角形
　　　　　ACP と A'CP のそれぞれの1辺 AP,  A'P の長さを三平方定理を使って求めることで得られます。

　　　　　まず、おうぎ形の中心角を求めましょう。　

　　　　　


　　　　　よって、　△ACP と △A'CP は内角が 30°,  60°,  90°の直角三角形ですから各辺の長さの比は　　　　　　

　　　　　　　　　　CP：AC（A'C）：AP（A'P）= 1：2：√3　

　　　　　になります。したがって、 AP = A' P = 6√3　　AA' = 12√3　

　　　　　　　　　　∴　ひもの長さ　 12√3 (cm)


この問題は「三平方定理」についての応用問題ですが、特に問3の円錐の底面の1点からひもを巻き付けるときのひもの長さを求める問題

にはほかにもいろいろな類題があるので、問題集などでしっかりチェックしておきましょう。



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