高校入試と「比例と反比例：座標」

座標平面

高校入試と「比例と反比例：座標」　



座標についての「ことば」の意味を最初に理解します。

正の数・負の数において数を目で見る場合「数直線」を用いましたが、

関数では x と y の組を表すのに用いるのが「座標平面」です。

座標平面上の横の数直線を「x軸」、たての数直線を「y軸」とよび、両方合わせて「座標軸」といいます。

また、座標軸の交点を原点と呼び、アルファベットの「O」で表します。

座標平面上の点で、原点Oから x 軸の正（または負）の方向へ a, 　y 軸の正（または負）の方向へ

b だけの距離に点Pがある場合、この点を　P（a， b）のように表します。このとき、

　　　　　　　a　…　点Pの「x 座標」
　　　　　　　b　…　点Pの「y 座標」
　　　　　　（a， b）　…　点Pの座標

と呼びます。たとえば、　「x＝-2　のとき　y＝5」を座標に表すと　（-2， 5）　となります。


　　　　〈決まりごと〉

　　　　　　　　　・座標を表すとき、x 座標を左に、 y 座標を右に書く （x， y）


座標について理解できたなら、比例のグラフと反比例のグラフの描き方とその性質をマスターします。

　　1）　比例のグラフ

　　　　　 比例のグラフのは「原点O」を通る直線であることから、比例のグラフを描くには
　　　　　　「原点」と「もう1点」がわかれば可能になります。

　　　〈比例のグラフの性質〉
　
　　　　　・原点Oを通る直線である
　　　　　・y ＝ax  のグラフでは比例定数 a が正の数ならば右上がり、負の数ならば右下がりのグラフになる


　　2）　反比例のグラフ

　　　　　 反比例のグラフは「原点O」を通らない2本の曲線になります。曲線を描く場合、
　　　　　できるだけ多くの座標をとって結ぶことでなめらかな曲線になります。

　〈比例のグラフの性質〉

　　・原点Oを通らない2本の曲線 （双曲線）
　　・双曲線は原点Oについて対称である
　　・双曲線は x 軸、 y 軸どちらとも交わらない
　　・y ＝ a/x  のグラフでは比例定数 a が正の数ならば原点を基準に右上と左下、負の数ならば左上と右下にくる


・入試問題にチャレンジ

　　　　　　　　　　　　　　　「図のように、正方形ABCDの頂点Aが直線 y ＝4x 上に、B，C が x 軸上の正の範囲にくる
　　　　　　　　　　　　　　　ように作るとき、次の問いに答えなさい」

 

　　   　　　　　（１）　Aの x 座標が3 のとき、正方形ABCD の面積を求めなさい

　　　　　　　　（２）　Aの x 座標を p とするとき、点D の座標を p を用いて表しなさい

　　　　　　　　（３）　正方形ABCDの1辺の長さが16のとき、点Dの座標を求めなさい

 

 
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・前回の演習問題の答え

　　　（１）　「毎分12リットルの割合で x 分間水を入れたときの水の量 y 」
           　→　y ＝12x ℓ

　　　（２）　「範囲」を示す表現を見つける　
　　　　　　　　→　「水が300ℓ入る水そう」＝「その水そうには水は300ℓまでしか入らない」
　　　　　　　　　　よって、300ℓの水が水そうに入るのにかかる時間は
       　　　→　300 ＝ 12x　より　12x ＝ 300  　x ＝ 25（分）
　　　　　　　∴　0≦ x ≦25

　　　（３）　（２）より　　0≦  y ≦300

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