放物線と直線、放物線と図形を融合した応用問題です。このようなものにはほかにも類題がたくさんあるので、
問題集を駆使して問題のパターンごとに解き方のコツを覚えておきましょう。
問 1 図2の曲線① y = x2 において、
x = 4 のとき y = (4)2 = 16 から、点Aの座標は（4, 16）
よって、AE = 16
AE : ED = 4 : 3 → 16 : ED = 4 : 3
4ED = 48 ED = 12
したがって、点Dの座標は（ 4, -12） になります。
y = ax2 において x = 4 のとき y = -12 ですから
-12 = a × (4)2 16a = -12
∴ a = -12/16 = -3/4
問 2 曲線②の式は y = -3/4x2 であり、点Dのx座標が4から
y = -3/4 × (4)2 = -3/4 × 16 = -12
DF はx軸と平行ですからFの座標は（0, -12）
よって、y = ax + b において、 b = -12
また、 x = 4 のとき y = 0 から、
0 = 4a - 12 4a = 12 a = 3
∴ y = 3x - 12
問 3 図3より、△ABC と △ABG は底辺がABと共通であることに注目します。
三角形の面積＝底辺 × 高さ ÷ 2 ですから、高さが同じであれば面積は等しくなります。
それには、△ABGの頂点Gが△ABCの頂点Cを通り、底辺ABと平行な直線上にあればよいことになります。
それを踏まえて、図のような平行四辺形ACGH をイメージし、平行四辺形の性質を利用します。
図4のように、平行四辺形の面積は底辺(GH) × 高さ(AE) から、
長方形の面積＝たて(AE) × 横(C'E) と同じことになり、
△AHH'を△CGE’へ移動してできる長方形E'GHH' の面積とも一致します。
このことから、EHの長さ = C'Gの長さ なので
Gのx座標は「4 + EH(C'G)」 で求めることができます。
まず、平行四辺形の点H の座標を求めますが、それには、直線AB の式を求めます。
y = ax + b において、x = 4 のとき y = 16
→ 16 = 4a + b ―― ①
x = 3 のとき y = 9
→ 9 = 3a + b ―― ②
① - ② より、b を消去
7 = a ―― ③
これを②の式に代入
9 = 3 × 7 + b b = 9 - 21 = -12
よって、 直線AB の式： y = 7x - 12
したがって、点Hの座標は
0 = 7x - 12 より 7x = 12 x = 12/7
このとき、座標は負の値であるから -44/7
* 受験対応［英語・数学］講座