高校入試と「いろいろな三角形の定義と定理について」

高校入試と「いろいろな三角形の定義と定理について」



数学において、

　　　　　「定義」とは　「○○とは△△というもの（こと）である」　という物や事柄に与えられた意味であり、

　絶対的な「決まりごと」になります。一方、

　　　　　「定理」とは与えられた「決まりごと」ではなく、正しいことがすでに説明（証明）されたことがらになります。

　したがって、「定理」として使用するには、はじめに正しいかどうかを説明（証明）しなければなりません。


◎ 二等辺三角形：　2辺の長さが等しい三角形（定　義）

　　「定　理1」：　二等辺三角形の底角は等しい

　　　　　　　　　　これを証明するには、　「ある三角形において、2辺が等しければ、底角は等しい」　

　　　　　　　　　　という文章をつくります。

　　　　

　　「定　理2」：　二等辺三角形の頂角の二等分線は底辺を垂直に2等分する

　　　　　　これを証明するには、　「ある三角形において、2辺が等しければ、頂角の二等分線は底辺を垂直に二等分する」

　　　　　　という文章を作成します。

　　　　　

　　「定　理3」：　2角が等しい三角形は二等辺三角形である
　　　
　　　　　　これを証明するには、　「ある三角形において、2角が等しければ、二等辺三角形になる」　

　　　　　　という文章を作成します。

　　　　　



◎ 正三角形：　3辺の長さが等しい三角形（定　義）

　　「定　理」：　正三角形の3つの角は等しい

　　　　　　これを証明するには、　「ある三角形において、3辺がすべて等しければ3つの角はすべて等しい」

　　　　　　という文章を作成します。このとき、

　　　　　　3辺がすべて等しいことから、　「正三角形は二等辺三角形の特別な形」　と考え、

　　　　　　二等辺三角形の性質を利用します。

　　　　　

〈演習問題〉

　　　　　　　　「AD // BCである台形ABCDの対角線ACが∠BCDの二等分線になっているとき、
　　　　　　　　△ADCが二等辺三角形になることを証明しなさい」

　　　　　　　

〈前回の入試問題の答え〉

　　　　　　

　〈証　明〉

　手　順1．合同対象を明らかに
　
　　　　　　　△BCF と△DCE において、

　手　順2.　仮定や図形の性質による説明

　　　　　　仮定より、　BC＝DC　――　①　（正方形の1辺）
　　　　　　また、　CF＝CE　――　②　（直角二等辺三角形の2辺）　
　　　　　　∠BCD＝∠FCE＝90°　であり、
　　　　　　∠BCD＝∠BCF＋∠FCD、　∠FCE＝∠FCD＋∠DCE
　　　　　　よって、　∠BEF＝∠DCE　――　③

　手　順3．当てはまる合同条件を述べる

　　　　　　①～③より、
　　　　　　2辺の長さとその間の角がそれぞれ等しい2つの三角形は合同である

　手　順4．結論づけ

　　　　　→　△BCF≡△DCE　である　　・・・　　証明終わり

　　　

 

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