高校入試と「合同の証明」

高校入試と「合同の証明」




数学において「合同」は、

　　　　　　　「2つの図形の一方を移動して他方に重ねたとき、ぴったりと重なり合う状態」

をいいます。

三角形については、わざわざ重ね合わせなくても「合同」であると判断する手段があり、

「三角形の合同条件」　に当てはめることになります。

上の図のように、三角形の合同条件は3つ

　　　　　　　　1）　3辺の長さがそれぞれ等しい

　　　　　　　　2）　2辺の長さとその間の角度がそれぞれ等しい

　　　　　　　　3）　1辺の長さとその両端の角度がそれぞれ等しい


〈合同の証明〉

　「証明」するとは、仮定や図形の性質などを根拠に与えられた命題が正しいと

結論づける　ことをいいます。

　　　　「仮定」は、あらかじめ与えられている「決まりごと」　のことで、

　　　　「結論」は与えられた命題が正しい事柄であると導き出すこと。

証明するとき、　「○○という理由から、××である」　という形の文章表現をしますが、

「〇〇」に当たる部分が仮定や図形の性質を表し、

「××」に当たる部分が結論（2つの三角形は合同である）になります。


〈証明の手順〉

「2つの三角形は合同である」　と結論づける文を完成させる手順をしっかり覚えてください。

　　　　　　　手 順 1．証明の対象を明らかにする
　　　　　　　　　　　　　　　　　　→　どの図形とどの図形についての証明か

　　　　　　　手 順 2．証明の対象について、仮定や図形の性質を述べる

　　　　　　　手 順 3．3つの合同条件のどれを用いるか明らかにする
　　　　　　　　　　　　　　　　　→　「手順2 から〇〇の合同条件が成り立つ」　という説明

　　　　　　　手 順 4．結論づける


〈合同を利用する問題〉

入試問題では、「2つの三角形が合同であるから△△が成り立つ」という別の性質を導き出させるものが

よく出題されます。主に、角度や線分の長さに関するものになり、

　　　　　　　「合同な図形の対応する辺や角は等しいから△△である」　

という文章を作成します。


・入試問題にチャレンジ：

　　　　　　　「図において、四角形ABCDは正方形であり、△CEFはCE＝CF の直角二等辺三角形である。
　　　　　　　このとき、△BCF≡△DCE であることを証明しなさい」

　　　　　　　　

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高校入試と「多角形の定理について」

高校入試と「多角形の定理について」　




角度についての重要な性質（＝定理）について、説明の仕方を学習します。

定理についての説明とは、それが正しいことを証明することを意味します。

「対頂角は等しい」　ということについては前回説明したので今回は、

他の角度についての重要な性質について説明（証明）していきましょう。


◎ 定理：　三角形の内角の和は180°である

　　〈証　明〉

　　　　　　　

　　図のように、△ABCの頂点Aを通りBCに平行な直線EFを引く

　　このとき、　∠EAB＝∠ABC　であり、　∠FAC＝∠ACB　である　（平行線の錯角）　――　①
　　　　　　　　　∠EAB＋∠BAC＋∠FAC＝180°　（直線の角度は180°）　――　②

　　①②より、　∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°　　

　　である　・・・　証明終わり


◎ n 角形の内角の和は　180×（n－2）°　である

　　〈説　明〉

　　　図のように、多角形に対角線を引く

　　　　　　

　　すると、

　　　　　　　四角形には三角形が2つ
　　　　　　　五角形には三角形が3つ
　　　　　　　六角形には三角形が4つ　できる

　　また、　三角形はそれ自体で1つ　と考えられる

　　このことから、それぞれの多角形の内角の和は

　　　　　　　　三角形　・・・　180×1＝180°
　　　　　　　　四角形　・・・　180×2＝360°
　　　　　　　　五角形　・・・　180×3＝540°
　　　　　　　　六角形　・・・　180×4＝720°

　　つまり、多角形の内角の和は　　180°×（多角形内にできる三角形の数）

　　で表すことができ、さらに

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（多角形内にできる三角形の数）＝（多角形の辺の数）－2

　　で表すことができるので、

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　n 角形の内角の和＝180×（n－2）　

　　となる・・・　説明終わり


◎ 多角形の外角の和は360°である

　〈説　明〉

　　　　　

　　　図のように、多角形の内角と外角との間には

　　　　　　　　　「１つの内角とそれにとなり合う外角との和は180°になる」

　　　という関係があることから、四角形では

　　　「1つの内角とそれにとなり合う外角」の組が4つあるので、すべての組の角の和は

　　　　　　　　　　　180×4＝720°　――　①

　　　そこから内角の和を引けば四角形の外角の和を求めることができる

　　　　　　　　　　　720－180×（4－2）＝720－360＝360°

　　　同じように、五角形では、

　　　「1つの内角とそれにとなり合う外角」の組が5つあるので、すべての角の和は

　　　　　　　　　　　180×5＝900°――　②

　　　そこから内角の和を引けば五角形の外角の和を求めることができる

　　　　　　　　　　　900－180×（5－2）＝900－540＝360°

　　　「1つの内角とそれにとなり合う角の組は多角形の辺の数に等しい」　ことがわかるので、

　　　七角形では、

　　　　　　　　　　　180×7－180×（7－2）＝1260－900＝360°

　　　よって、n角形の外角の和は

　　　　　　　　　　　180×n－180×（n－2）＝180n－180n＋360＝360°

　　　となる　・・・　説明終わり


◎ 三角形の外角はとなり合わない内角の和に等しい

　〈証　明〉

　　　　　

　　　図のように、△ABCにおいて、頂点Cを通りABと平行な直線を引く

　　　このとき、　直線とACがつくる角＝∠a　（平行線の錯角）　――　①

　　　また、　直線とACの延長線がつくる角＝∠b　（平行線の同位角）　――　②

　　　①②より、 x ＝a＋b　であり、このことは頂点A, B についても成り立つ

　　　よって、 三角形の外角はとなり合わない内角の和に等しい　・・・　証明終わり


このように、 「定理」は決まりごとではないので、正しいことを説明、または証明します。特に、

証明問題ではこの作業を行い、どうしてこのような答えを導き出したかがわかるようにしなければなりません。



〈演習問題の答え〉

　　

　2直線と平行な補助線を引くのがポイント！

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高校入試と「資料の整理について」

資料を整理するとき、たくさんの数値をいくつかのかたまりに分けて

見やすいものにまとめます。


　　　　　　　　◎ 資料をいくつかの等しい区間（階級）に分ける

　　　　　　　　◎ 各階級における個数（度数）をまとめる

　　　　　　　　◎ これらをまとめた表（度数分布表）をつくる


ほかにも、資料の整理に必要なことばを覚えておきましょう。

　　　　　・ヒストグラム：　度数分布表の度数をたて軸に、階級を横軸に定めたグラフ

　　　　　・度数折れ線： ヒストグラムの各階級の度数が表わす長方形の上の辺の中点を結んで
　　　　　　　　　　　　　　　できる折れ線グラフ


統計に用いた資料の特徴や傾向をを示す尺度を表す数値を「代表値」といいます。


〈代表値〉

　　　　　平均値：　資料の数値すべてを合計して、数値の個数で割った値

　　　　　中央値：　資料の数値を小さい順に並べたときに中央に位置する値　メジアンともいう　
　　　　　　　　　　　　資料の個数が偶数の場合は中央の2つの資料の平均値になる

　　　　　最頻値：　資料の数値の中で最も多く存在する値　モードともいう


〈近似値〉

真の値ではないがそれに近い値のことをいいます。測定値や四捨五入して得た数は近似値になります。

このとき、真の値と近似値との差を「誤差」　といい

　　　　　誤　差＝近似値－真の値　　で表します。


〈有効数字〉

153，154 の一の位を四捨五入するとどちらも150になります。このとき、

百の位の「1」と十の位の「5」はともに信頼できますが、「0」は四捨五入され、

「3」か「4」のどちらかはっきりしません。この「0」は単に一の位を表すもので

意味がありません。このときの「1」「5」を有効数字と呼びます。

ふつう、有効数字をはっきりさせるため　「整数部分が1ケタの数」×「10の累乗」　の形

で表します　　→　150＝1.5×102


「資料の散らばりと代表値」は、「方程式」や「平面図形」に比べれば入試にとってさほど重要ではありませんが、

過去10年間で3回程度出題されています。したがって、決して軽く見ないようにしましょう。


〈前回の入試問題の答え〉

　　　　　

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高校入試と「平行線と角について」

高校入試と「平行線と角について」　




図形の定義は確実に覚えるようにしましょう。 そして定義以外の事柄は理由を考えて証明できるようにします。

図形の証明問題では、特に角の性質を利用することが基本になります。

今回は、角について学習します。

◎ 対頂角

2本の直線が交わるとき、上図のように角が4つできますが、

　　　　　　　　　∠a と ∠c、  ∠b と ∠d

のように向かい合う2つの角を対頂角といいます。

　　　　　　　　　「対頂角は等しい」

という性質を覚えてください

図を見てわかるように、

　　　直線の表す角度は 180° なので、

　　　∠a＋∠b＝180°　　∠b＋∠c＝180°
　　　∠a＝180－∠b　　∠c＝180－∠b　
　　　よって、　∠a＝∠c　――　①

　　　同様に、

　　　∠b＋∠c＝180°　∠c＋∠d＝180°　より、
　　　∠b＝180－∠c　∠d＝180－∠c　
　　　よって、　∠b＝∠d　――　②

　　　①②より、対頂角は等しいことがわかります。


◎ 図形の内角と外角

　　多角形において、内側にできる角が内角、多角形の各辺の延長線ととなりの辺がつくる角が外角です。

　　　　　「多角形の１つの内角とそのとなりの外角との和は180°になる」

という性質を覚えます


◎ 同位角と錯角

上図のように、2つの直線mとℓの両方に交わる直線があり、それによってできる角のうち、

　　　　2直線の同じ位置にできる角が同位角

であり、

　　　　2直線にはさまれ、交わる直線の反対側に相対する角が錯角

です。

　　　　　同位角は4組：　∠a と∠e、　∠b と∠f、　∠d と∠h、　∠c と∠g
　　　　　錯角は2組　：　∠b と∠h、　∠c と∠e

また、2直線ℓ，m が平行であるときの重要な決まりごと

　　　　　　　　　「平行線の同位角、錯角は等しい」

を忘れずに。


演習問題にチャレンジ

　　　　　「2直線ℓとmが平行なとき、x，y の大きさを求めなさい」

　　　　　

〈演習問題の答え〉

　（２）：　点PはAからBを通りCまで動くので、PがBC上にあるとき、△APC の底辺PCは
　　　　　（AB＋AC）－（Pの進んだ距離 x ）と考えます。

　（３）：　点PがB上にあるとき、進んだ距離 x ＝12cm であり、C上に達したとき、進んだ距離 x ＝12＋10＝22cm
　　　　　であるから、このときの x の変域は　12≦ x ≦22

　　　　　

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高校入試と「空間図形：直線や平面の位置関係」

高校入試と「空間図形：直線や平面の位置関係」




　平面の決定条件、平面や直線の位置関係は空間図形の中でも難しい項目になります。


◎ 平面の決定条件：　1直線上にない3つの点を通る平面は1つに決まる

　「平面」とは、平らに限りなく広がる面をいいますが、平面のもっとも

　基本的な形は、3つの点を結んでできる三角形であり、三角形を

　限りなく広げていけば1つの平面になります。このことを理解して、

　　　　　　　　「1直線上にない3つの点が決まる＝1つの三角形ができる」　

　ことが平面の決定条件になります。


・1直線上にない3つの点が決まるための条件

　　　　1）　単に3点が存在するほかに、

　　　　2）　「1直線とその直線上にない別の1点が決まる」
　　　　　　　　　　1直線を決めるには2つの点が必要　→　2点＋別の1点＝3点

　　　　3）　「平行な2直線が決まる」
　　　　　　　　　→　2）と同じ

　　　　4）　「2直線が交わる」
　　　　　　　　　2）同様、1直線を決めるには2つの点が必要　――　①
　　　　　　　　　①の2点のうちの1点と直線上にない別の1点がもう1本の直線を決める　――　②
　　　　　　　　　　→　2点＋別の1点＝3点

の全部で4つの条件を覚えましょう。


◎ 空間内の2直線の位置関係は　「交わる」・「平行」・「ねじれの位置」　の3つ

　　「交わる」と「平行」であるときは同じ平面上にあり、　「ねじれの位置」にある2つの直線は平行でなく、しかも交わらない　

　　ことを覚えます。

 

 

◎ 空間内の2平面の位置関係は　「交わる」・「平行」の2つ

 

◎ 空間内の直線と平面の位置関係は　「平行」・「交わる」・「平面上にある」の3つ

　また、下図のように、平面Pと直線ℓが交わっていて、その交点を通る平面上の2直線 m,n とℓ が垂直であるならば、
　　　　　直線ℓ⊥平面P となる

〈入試問題にチャレンジ〉

　　　　　　　　　　「次の図は、1辺の長さが 6㎝ の立方体である。AC と BD の交点をO、辺 EF, FG, GH, HE の
　　　　　　　　　　中点をそれぞれ P, Q, R, S とするとき」

　　　　　　　　　　　（１）　立体 O-PQRS の名前を答えなさい。

　　　　　　　　　　　（２）　（１）の立体の体積を求めなさい。

 

　　　　　　　　　

 

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