高校入試数学［短期］マスター講座 第9回

2．次の問いに答えなさい。 

　　　　　　　　　　問1　　八百屋さんが、仕入れた260個のジャガイモを販売するため、余りのないように、ジャガイモ4個入れと
　　　　　　　　　　　　　　6個入れの袋をそれぞれ何袋かつくった。このとき、6個入れの袋は、4個入れの袋の数の2倍より4袋多く
　　　　　　　　　　　　　　なった。　4個入れの袋と6個入れの袋をそれぞれ何袋つくったか答えなさい。ただし、4個入れの袋の数をx、
　　　　　　　　　　　　　　6個入れの袋の数をyとして方程式をつくり求めなさい。






　　　　　　　　　　問2　図のように、2つの直角二等辺三角形ABCとADEがあり、辺AB上に辺AD, 辺AC上に辺AEがある。
　　　　　　　　　　　　　AB = AC = 12 cm とする。辺DE上に点F、辺BC上に2点G, H をとり、四角形EFHCとDFGBが
　　　　　　　　　　　　　ともに平行四辺形になるようにする。四角形EFHCとDFGBの面積の和が△ADEの面積の4倍になる
　　　　　　　　　　　　　とき、CEの長さを求めなさい。このとき、CEの長さをx cm として方程式をつくり、求めなさい。

　　　　　　　　　　　　　　　




　　解き方のヒント

　　　問1　*　連立方程式は文字がx, y の2つあり、2つの2元1次方程式から成り立って
　　　　　　　　いるので、問題文の中から2つの数量関係を見つけ出します。

　　　問2　*　平行四辺形の性質を利用します
　　　　　　　**　2次方程式の解き方をマスターします




　この問題の解答と解説は明日のこの時間に

学校授業で覚えた内容を確実にマスターする！
☆　[要点整理]と[演習問題]を一体化した実践学習 〉〉

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高校入試数学［短期］マスター講座 第8回 の答えです

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前回第8回の問題の解答と解説です。   

いかがですか。 7分以内で解答できましたか。   

6問中の5問はこのように、設問が複数から成る応用問題になります。   

これらの問題を解く際、まず問題文をよく読み　「どの項目についてたずねる問題か」　を理解します。   

次に、その項目について学習した「要点」を頭に描き、

関連することばの意味や公式などを思い出しましょう。



２．   

 　（1）　ウ  
   
  　　　　　　　ア　直方体の体積＝底面（たて × 横） × 高さ　より　y = x × x × 15 = 15x2 （c㎥） 
  　　　　　　　イ　y = 20 - x　　→　　y = -x + 20 
  　　　　　　　ウ　毎分xℓずるy分間水を入れると50ℓになる　→　xy = 50   　y = 50/x 
  　　　　　　　エ　y = 30x 

　*　反比例の式を思い出す
   
 　（2）　①　A（-3,  9）　　　②　エ　　　③　y = x + 12　　　④　t = 6  
　　　
　　　　　　　　 ①　y = x2　において　x = -3　のとき　y = (-3) × (-3) = 9 
 
　　　　　　　　 ②　変化の割合＝（yの増加量） ÷ （xの増加量）　より　y = x2　において
 
　　　　　　　　　　   ア　　xの増加量 = 0 - (-3) = 3　　yの増加量 = 0 - 9 = -9　　変化の割合 = -9 ÷ 3 = -3
　　　　　　　　　　   イ　　xの増加量 = 3 - 0  = 3　　yの増加量 = 9 - 0 = 9　　変化の割合 = 9 ÷ 3 = 3
　　　　　　　　　　   ウ　　xの増加量 = 4 - 0 = 4　　yの増加量 = 16 - 0 = 16　　変化の割合 = 16 ÷ 4 = 4
　　　　　　　　　　   エ　　xの増加量 = 4 - 3 = 1　　yの増加量 = 16 - 9 = 7　　変化の割合 = 7 ÷ 1 = 7
  

　　　　　　　　③　直線　y = ax + b  が　A（-3,  9）,  B（4,  16）  を通るので 

　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　   9 = -3a + b　――　ア
  　　　　　　　　　　　　　　 16 = 4a + b　――　イ　　

　　　　　　　　　   連立方程式において （ア - イ） より b を消去
　　　　　　　　　　　　　　    -7 = -7a　　　a = 1

　　　　　　　　　  これをアの式に代入 
   　　　　　　　　　　　　　　　9 = -3 × 1 + b　　9 + 3 = b   　 b = 12

　　　　　　　　　  よって　この直線の式は　　y = x + 12 　となります
   

　　　　　　　  ④　△ATC を囲む長方形PQRT をつくります 

　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　  すると、△ATCの面積は 
  　　　　　　　　　長方形PQRT - （△ACQ + △CTP + △ATR） より求めることができます。 
  
　　　　　　　　　　図において、　CP = a 　とすると 

　　　　　　　　　  長方形PQRTの面積 = 16 × （7 +  a）= 112 + 16a 
 　　　　　　　　　 △ACQの面積 = 7 × 7 ÷ 2 = 49/2 
　　　　　　　　　  △CTPの面積 = 16 × a ÷ 2 = 8a 
　　　　　　　　　  △ATRの面積 = 9× （7 + a） ÷ 2 = 63 + 9a/2 

 　　　　　　　　 これにより、　△ATCの面積は 
　　　　　　
　　　　　　　　　　
　　　　　　　　
　　　　　　　　よって、 点Tのx座標　t = 4 + 2 = 6

　　
　　*　関数における「変化の割合」を求める公式や、直線の式の出し方、関数と図形のかかわりなどをしっかり
　　　理解する



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高校入試数学［短期］マスター講座 第8回

　　高校入試数学の問題第1問について、出る頻度の高い問題をこれまで見てきましたが、


これからいよいよ2問目以降に出題の応用問題 に移ります。


解き方のポイントで特に注意しなければならないのが「時間配分」です。


次は、ある県の一般公立校の入試問題の第2問目に出題されたものです。


ここでの問題は全部で6問あり、試験時間は45分。したがって、


少なくとも　7分以内で解く必要があります。   


   
　　　　　　　　　　２．次の問いに答えなさい。   

 　　　　　　　　　　　　（1）　次のア～エに示したx, y の関係のうち、yがxに反比例するものを1つ選び、
　　　　　　　　　　　　　　記号で答えなさい。  
   
  　　　　　　　　　　　　　　　　ア　　たてと横の長さがx cm,　高さが15㎝の直方体の体積がy c㎥ 
  　　　　　　　　　　　　　　　　イ　　20mの長さのひもからxm切り取った残りがy m 
  　　　　　　　　　　　　　　　　ウ　50ℓ入る容器に毎分xℓずつ水を入れるとき、容器が水でいっぱいになる時間がy分 
 　　　　　　　　　　　　　　　　 エ　1mあたりの重さが30gである針金xmの重さがyg 
   
 
　　　　　　　　　　　（2）　右の図のように、関数 y = x2  のグラフ上に、3点A, B, C があり、それらのx座標はそれぞれ
　　　　　　　　　　　　　　 -3, 3, 4 である。このとき、次の問いに答えなさい。  

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


 　　　　　　　　　　　　　 ①　点Aの座標を答えなさい。 


　　　　　　　　　　　　　  ②　関数 ㋐ について、次のうちで変化の割合が最も大きいものを1つ選び、記号で答えなさい。
　　　　　　　　　　　　　　　　また、そのときの変化の割合を答えなさい。 

   　　　　　　　　　　　　　　　　 ア　　xの値が -3 から 0 まで増加するときの変化の割合
　　　　　　　　　　　　　　　　   イ　　xの値が 0 から 3 まで増加するときの変化の割合
 　　　　　　　　　　　　　　　　  ウ　　xの値が 0 から 4 まで増加するときの変化の割合
   　　　　　　　　　　　　　　　　エ　　xの値が 3 から 4 まで増加するときの変化の割合


　　　　　　　　　　　　　  ③　直線ACの式を答えなさい。 


 　　　　　　　　　　　　　 ④　x軸上にx座標が 4 より大きい点T（t,   0）をとり、 △ATCをつくる。 
　　　　　　　　　　　　　　　　　この三角形の面積が 63 になるときの t の値を求めなさい。 

この問題の答えは次回。

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高校入試数学［短期］マスター講座 第7回

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図形問題では、長さや面積を求めるものもよく出題されています。

1問目の問題は言わばサービス問題ですから、100%正答できるように

公式や解き方などは徹底的にマスターしておきます。

   
   
　　　　　　　　　　　　　　1.  図において、3点A, B, C を頂点とする△ABC の面積を求めなさい。
　　　　　　　　　　　　　　ただし、1目盛は1とする。

　　　　　　　　

   
下図のように、△ABCの面積は、長方形ADEFの面積－（△ADB＋△BEC＋△AFC）の面積　

で求めることができます。よって、

　　　　　△ABCの面積 = （6×4） - ｛（6×2÷2） + （4×2÷2） + （4×2÷2）}
　　　　　　　　　　　=  24 - （6 + 4 + 4）= 24 - 14 = 10 
   
　　　　　　　  
 

   
　　　　　　　　　　　　　　　2.  図において、ℓ // m,  m // n であるとき、xの値を求めなさい。
   
　　　　　　　


下図のように、平行な直線と交わる直線の1本を移動して三角形をつくります。

△AED と△ABC において、2つは2角がそれぞれ等しい相似な三角形であるから、　

　　　　　　　　AD：AC = AE：AB　より　

　　　　　　9：（6 + 9） = （30 - x）：30　　　9：15 = （30 - x）: 30　
　　　　　　15 × （30 - x）= 270　　　　450 - 15x = 270 
　　　　　　-15x = 270 - 450 = -180　
　　　　　　　　x = 12 
   
　　　　　　　



　　　　　　　　　　　　　　　3.  図のような平行四辺形ABCD があり、辺DCが直線ℓ上にある。頂点Dから辺ABに垂線を引き、
　　　　　　　　　　　　　　　辺ABとの交点をHとする。AB = 10cm, DH = 4cm のとき、平行四辺形ABCD を直線ℓを
　　　　　　　　　　　　　　　軸として1回転させてできる立体の体積を求めなさい。ただし、円周率はπを用いること。   
   
  
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


平行四辺形ABCDの面積＝底辺AB×高さDH　は、図のように、　

長方形ABGG' の面積＝たてAB × 横BG　と同じことになる。したがって、

この立体の体積は半径BG、高さABの円柱の体積と考え、  円柱の体積＝底面積 × 高さ　より 
   　　　
　　　　　　　　　4 × 4× π × 10 = 160π　（c㎥）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

 

 

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高校入試数学［短期］マスター講座 第6回

入試問題の第1問目では、代数項目だけでなく、図形問題もよく出ます。

特に、作図問題は必ず出るといっていいでしょう。次は、最近の公立高校入試問題

第1問に出題の作図問題です。      



　　　　　　　　　　　　1）　△ABCを頂点Aを中心として矢印の方向へ90°回転移動させた△ADEを、定規とコンパスを
　　　　　　　　　　　　　用いて作図しなさい。このとき、頂点D, Eの位置を示す文字D, Eも書きなさい。ただし、作図に
　　　　　　　　　　　　　使用した線は残しておくこと。
      
      
　　　　　　　　　　　　 


「90°」回転移動させることから、ここでは「垂線」や「垂直二等分線」の作図が試されます。

作図のポイントは、

 　　　　　　　 ①　頂点AからAC, AB の延長線をそれぞれ引く    

　　　　　　　  ②　頂点Aを中心とする円を①でつくった直線、AB, AC と交わるように描く  
  
　　　　　　　  ③　②の円がAB、ABの延長と交わる点をそれぞれ中心とする同じ半径の円を
　　　　　　　　　　交わるように描く。これをAC、ACの延長と交わる点についてもくり返す。    
 　　　　　　　 ④　③の交点と頂点Aを結ぶ直線を描く   
 
　　　　　　　  ⑤　頂点Aを中心として、AB, AC をそれぞれ半径とする円を④の直線と
　　　　　　　　　　交わるように描く    

　　　　　　　  ⑥　⑤のABを半径とする円とABの延長線の垂線との交点をD,    ACを半径
　　　　　　　　　　とする円とACの延長線の垂線との交点をEとしてA, D, E を直線で結ぶ    

      
　　　　　　　　　　　　





　　　　　　　　　　　　2）　図のような線分ABがある。この線分の中点をCをするとき、線分ACを1辺とする正三角形を
　　　　　　　　　　　　　線分ABの上方に、定規とコンパスを使って作図しなさい。ただし、作図に用いた線は残しておくこと。      
      
　　　　　　　　　　　　　　 


　ある線分の中点を求めるには、その線分の垂直二等分線を作図します。

作図のポイントは以下の通りです。


　　　　　　　　　  ①　A, B をそれぞれ中心とする同じ半径の円を2点で交わるように描く 
   
　　　　　　　　　  ②　①の交点を直線で結び、ABとの交点をCとする    

　　　　　　　　　  ③　ACを半径とする円を、A, C をそれぞれ中心としてACの上部で
　　　　　　　　　　　　交わるように描く    

　　　　　　　　　  ④　③の交点とA,Cを直線で結ぶ    
  

　　　　　　　　　　　　 



    
　　　　　　　　　　　　3）　△ABCの辺AC上に、AP＝1/2ABとなるような点Pを定規とコンパスを使って作図しなさい。
　　　　　　　　　　　　　このとき、点を示す記号Pも書き入れなさい。ただし、作図に用いた線は残しておくこと。      
 

　　　　　　　　　　　　　　   



作図には2つの方法が考えられます。1つは、

 　　　「ABの垂直二等分線を作図してABの中点を求め、頂点Aとその中点を半径とする円をACと交わるように描く」　

方法。　ポイントは、
  
　　　　　　　　  ①　A, B をそれぞれ中心とする同じ半径の円を2点で交わるように描き、
　　　　　　　　　　　その交点を結び、ABの垂直二等分線を作図する    

 　　　　　　　　 ②　①の直線とABの交点をABの中点と定め、その中点とAを結ぶ線分を
　　　　　　　　　　　半径とする円をACと交わるように描く    

 　　　　　　　　 ③　②の円とACの交点をPと定める 


　　　　　　　　　　　　　　


2つ目は、

　　　「頂点Aにコンパスの針をさして、ABを半径とする円をACと交わるように描き、その交点と頂点Aをそれぞれ

　　　中心とする同じ半径の円を2点で交わるように描く」　　　


方法。ポイントは、

　　　　　　　　　①　頂点Aにコンパスの針をさしてABを半径とする円をACと交わるように描く

　　　　　　　　　②　①の交点と頂点Aをそれぞれ中心とする同じ半径の円を2点で交わるように描く

　　　　　　　　　③　②の交点を直線で結び、ACの交点をPと定める


　　　　　　　　　　　　　　


考え方はどちらも同じで、

　　　　　　　　　「円の中心と円周を結ぶ半径はどこも長さは同じである」

という円の性質を利用しています。

夏休みを有効に使って学力に差をつける！
☆　学年ごとのテーマの理解と徹底した実戦トレーニング〉〉　

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