高校入試数学［短期］マスター講座 第5回

 

　方程式の計算の最後は2次方程式についてです。　2次方程式の計算問題では、

方程式の解法を思い出しましょう。 2次方程式の解き方には

　　　　　　　　　　1）　因数分解による解法

　　　　　　　　　　2）　平方の形に直す解法

　　　　　　　　　　3）　平方根を利用する解法

　　　　　　　　　　4）　解の公式による解法

があり、問題によってこれらを使い分けます。

　　　　　　　　　　１．次の2次方程式を解きなさい。

　　　　

（1）　1～3 の解法をまず考え、これらが使えない場合は、4）解の公式を用いて解きます

　　　　

もとの式に代入して方程式の解として正しいかを確認します。

　　　　
　　　　


（2）　まず、カッコをはずして式を整理します。

　　　　

　　　　掛けて（-4）　、足して（+3）になる2数は　（-1， 4）　ですから

　　　　　　　　　　　　　（x - 1）（x + 4） = 0 　

　　　　に因数分解できる。よって、

　　　　　　　　　　　　　　　x = -4,  1

もとの式に代入して方程式の解ととして正しいか確認します。　

　　　　
　　　　

（3）　この式の定数項が〈16〉であれば
 
　　　　　　　　　　x2 + 8x + 16 = （x + 4）2

　　　のような平方の形に直せるので、式を次のように変形します。

　　　　

もとの式に代入して方程式の解ととして正しいか確認します。

　　　　
　　　　


　2次方程式の計算では、その式が因数分解や平方の形に直せるか

　をまず考えます。直せればその解法で行い、できなければ解の公式による

　方法を選ぶようにします。
　

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入試数学［短期］マスター講座 第4回

　第1問中の小問題に必ず出題されるのが方程式の計算です。 そのうち、今回は1次方程式の計算についてです。 


1次方程式　「公立校入試問題」


　　　　　　　1．次の1次方程式を解きなさい。

　　　


　　分数を含む方程式では　

　　　　　　　　　　( i ) 　分母をはらう（分数を含まない式にする）　

　　　　　　　　　　( ii ) 　文字の項を左辺に、数の項を右辺に移項する　

　　　　　　　　　　(iii)　 両辺をそれぞれ計算して簡単にする　

　　　　　　　　　　(iv) 　文字の係数を右辺に移し、右辺を計算する　

　　の手順で解きます。


　　　　　

　　　　　



1次方程式　「私立校入試問題」　　


　　　　　　　　　　2．2つの数x，yについて、演算 x ■ y を以下のように約束する。

　　　　　　　　　　　x ■ y = x × y - x - y   このとき、 （3 ■ a） ■ 5 = 7　を満たす a の値を求めなさい。

　与えられた条件より　

　　　　　


のように変形できる。さらに、　3 ■ a = A　 として式を整理します。　

　　　　　　　　　　（3 ■ a） ■ 5 = A ■ 5　　
　　　　　　　　　　　= A × 5 - A - 5
　　　　　　　　　　　= 5A - A - 5
　　　　　　　　　　　= 4A - 5　

　A に 2a - 3 を代入して　

　　　　　　　　　　4A - 5 = 4（2a - 3） - 5
　　　　　　　　　　　　　　 = 8a - 12 - 5
　　　　　　　　　　　　　　 = 8a - 17　

　よって、　

　　　　　　　　　　　　　　　8a - 17 = 7　　
　　　　　　　　　　8a = 7 + 17　
　　　　　　　　　　8a = 24　　a = 3


　このような問題では、文字を使って複雑な式を簡単なものに直し、整理してから計算するようにします。

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入試数学［短期］マスター講座 第3回

引き続き、入試問題の第1問中の9つの小問題について考察します。

次は、根号（ルート）を含む数の計算です。


　　　　　　　（1）　√27 - 15 ÷ √3　　を解きなさい。


平方根の計算では、分数を含むものに注意します。

分母に根号を含む数があるときは「有理化」して整理しますが、有理化と通分を混同して、

15/√3　だけでなく　√27　にも　√3　を掛けないように。

　　　




　　　　　　　（2）　次の問題を解きなさい。


　　　　　


この問題は、私立の進学校の入試問題によく見られます。

両方ともカッコ内が3数以上の加減の式の積になっています。このようなときは、

（　　　）内を2数にまとめる工夫をします。


　①　（　　　）内を2数に整理するため、文字式に直します


　　　

上のように、　1, -1, （√2＋√3）, （√2－√3） 　の4つの組から成る式に変形できました。

そこで、　√2 + √3 = a、　√2 - √3 = b　　にかえ、文字式に直します。


　　　

この式の文字に、もとの数値を代入して



　　　


　　　②　（　　　）内が4数の加減で構成されているので、①のように同じ要素の2文字から成る式に変形します。


　　　

上の式より、

　　　　　　　　　　√2 + √3 = a, 　√2 - √3 = b,　√5 + √6 = c, 　√5 - √6 = d　

にかえて文字式で表すと、


　　　

ここで、それぞれの文字にもとの数を代入しますが、計算しやすいように先に1文字ずつ値を求めます。


　　　

よって、



　　　


このような複雑な計算問題を正確に、スピーディーにこなすためには、日ごろから同じような問題をいくつも解いて、

解き方を完璧に身に着けていなければなりません。そうすれば、あわてて計算ミスをせずにすみます。

これはあくまでも第1問中の9つの小問題にすぎないことを覚えておいてください。



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入試数学［短期］マスター講座 第2回

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過去の高校入試問題の第1問中の9つの小問題の計算問題では、文字式の計算もよく出題されます。


次の代表的な問題について説明します。　［（1）は公立校、（2）は私立校の入試問題］



　　（1） 　9a - 5b - （8a + b）　を計算しなさい。


この場合、 「同じ文字どうしの計算」は可能であることがわかっていれば難なく解ける問題です。


　　　　　　　　　　9a - 5b - 8a - b　　・・・　（　　  ）をはずす
　　　　　　　　　　 = 9a - 8a - 5b - b 　・・・　同じ文字項ごとにまとめる
　　　　　　　　　　 = (9 - 8) a - (5 + 1) b　・・・　係数を計算する
　　　　　　　　　　 = 1a - 6b
                   = a - 6b　・・・　1 と文字の積は 1 を省く




　（2）　次の空所に当てはまる式を求めよ。　　


　　　　①　8x - 5 + [         ] = 11x + 1 - （9 - 3x）　　　　②　5（4x − 7） − 3（        ） = 11x − 2


　①　イコール［＝］の左側と右側の値が同じなので、［　　　］＝X として式を整理します　

　　　　　　　　8x - 5 + X = 11x + 1 - 9 + 3x　　・・・　右辺の（　　　）をはずす
　　　　　　　　8x - 5 + X = 11x + 3x + 1 - 9　　・・・　右辺の文字の項と数の項をまとめる　
　　　　　　　　8x - 5 + X = （1 + 3）x - （9 - 1）　　・・・　　右辺を計算する　　
　　　　　　　　8x - 5 + X = 14x - 8　
　　　　　　　　X = 14x - 8 - 8x + 5　　・・・　　X＝〇〇　の形にする　　
　　　　　　　　　 = （14 - 8）x - （8 - 5）
　　　　　　　　 　=  6x - 3



　
　②　①と同じようにイコール［＝］の左右の式を整理して　X＝〇〇　の形にします

　　　　　　　　5 × 4x - 5 × 7 - 3X = 11x - 2   ・・・　左辺の（　　　）をはずす　
　　　　　　　　20x - 35 - 3X = 11x - 2　  ・・・　　左辺を計算する　
　　　　　　　　-3X = 11x - 2 - 20x + 35　　・・・　　X = （　　　）の形に直す
　　　　　　　　　　 = 11x - 20x - 2 + 35
　　　　　　　　　　 = -（20 - 11）x + （35 - 2）　
　　　　　　　　　　 =-9x + 33　

　　　　　　　　　X = （-9x） ÷ （-3） + 33 ÷（- 3）　　・・・　　両辺をXの係数（-3）で割る 
　　　　　　　　　　 = 3x - 11


文字式の計算の基本は、「計算のルール」を覚えることです。　また、（2）では、


未知数Xを設けることで、方程式を解く形に発展しています。

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入試数学攻略セミナー：第１回

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　一般公立校の高校入試における数学の問題の形態や特徴は、この10年大きく変わることがなく、大体次のようになっています。

  
　　　　　　　・問題数（大問題）は全部で5問 

　　　　　　　・テストにかかる時間は60分 

　　　　　　　・問題の第1問目が中学校学習課程中、計算や図形の性質などの基礎的な知識を試す問題で 
　　　　　　　　第2問～第5問が文章問題（応用問題）

第1問には9つの小問題があり、過去10年間で必ず出題された項目は

 　　　　　　　　　　1．正の数・負の数（四則の計算）
 　　　　　　　　　　2．文字式の計算
 　　　　　　　　　　3．平方根の計算
 　　　　　　　　　　4．1次方程式の計算
 　　　　　　　　　　5．連立方程式の計算
 　　　　　　　　　　6．2次方程式の計算
 　　　　　　　　　　7．資料の散らばりと代表値
 　　　　　　　　　　8．円周角の定理（角度）
 　　　　　　　　　　9．平面図形（作図）

また、2 問目以降の応用問題では、復数の項目を組み合わせた融合問題（ゆうごうもんだい）が多く、　

　　　　　　　「方程式」＋「図形」　　

　　　　　　　「方程式」＋「図形」＋「関数」
　　　
　　　　　　　図形の「合同」＋「相似」＋「三平方の定理」＋「円周角の定理」　


といった組み合わせがよく見られます。

このように、入試を攻略するには過去の入試問題の形態や内容の特徴をつかみ、それに対応した勉強がカギとなります。

次は、主に第1問によく出題される正の数・負の数の四則の計算問題で、

主に（1）は一般公立校で、（2）は私立の進学校でよく見られる形になります。


　　　


（1）のような問題では、まず、すべての項を（　　　）でくくり加法にかえてから計算します。


　　　　　　　　　　


（2）のような複雑な計算では、

　　　　　　　　　　・（　　　）内を先に計算する　

　　　　　　　　　　・累乗計算をする　

　　　　　　　　　　・乗法・除法を先に計算する　

　　　　　　　　　　・減法や加法に、除法は乗法にそれぞれかえる　

　　　　　　　　　　・加法・乗法の交換法則、結合法則、分配法則を利用する　

などの工夫が必要になります。


　　　　　　　　　　

　計算問題解答のコツは、いかに早く楽に計算するかです。試験では電卓を使うことができませんから、

　計算上のルールを効果的に使う訓練を十分に積むことが大切になります。


　　　以下、次号

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