神戸女学院１６

「 ４個の異なる整数があります。その中から２個ずつを取り出して加えると、それらの和は１０３３、２０１３、２１３１、２７９０、２９０８、３８８８となります。
（１）４個の整数をすべて加えるといくらになりますか。
（２）４個の整数を大きいものから順に並べるとき、２番目の整数と３番目の整数の差はいくらになりますか。
（３）一番大きい整数と、一番小さい整数を求めなさい。 」2003

それぞれ異なる整数を、A ＜ B ＜ C ＜ D　とします。

和が１０３３、２０１３、２１３１、２７９０、２９０８、３８８８となる２個を取り出しての足し算は、

① A＋B（＝１０３３）

② A＋C（＝２０１３）

③ A＋D（＝２１３１か、２７９０）

④ B＋C（＝２１３１か、２７９０）

⑤ B＋D（＝２９０８）

⑥ C＋D（＝３８８８）

（１）①～⑥まで全部たすと、ABCDが３個ずつで、

１０３３＋２０１３＋２１３１＋２７９０＋２９０８＋３８８８ となるはずなので、１４７６３。ABCDが１個ずつでは、４９２１（答え）。

（２）① A＋B（＝１０３３）と ② A＋C（＝２０１３）の差は、B と C の差なので、９８０（答え）。

（３）① A＋B（＝１０３３）と ⑤ B＋D（＝２９０８）の差は、A と D の差に他ならなく、１８７５。

③ によると、 A ＋ D は、 ２１３１か２７９０となり、D は整数なので、ADの差（１８７５）をたして２でわれば、必ず整数とならなければならない。とすると、２１３１のほうに１８７５をたせば２でわっても整数となる４００６（たした末桁に着目）。あとは、つるかめ式の２でわった、（最大の整数である） D は、２００３（答え）。