昨年の暮にCinderellaJapanの管理人さんから「面白いもの見つけました」とメールを頂きました。それは『曲線の事典 ―作用・歴史・作図法―』(共立出版、2009年)でした。私の知らない書籍で、内容を確認すると私の好みにストライクです。アマゾンで古書を探して注文、手に取ったのは年が明けてからです。
前々から気になっていたベルヌーイのレムニスケートを描く器具の説明に見入ってしまいます。同書111ページ。手先が不器用なので、作る前にCinderellaで動かしてみようと思い立ちました。それも初等幾何学の伝統に従って「定規とコンパス」だけを使って作図しようと決めました。定規とコンパスだけを使って作図するとは以下の条件に従う事を要請します。
・既知の二点に対し、それらを通る直線を引く。
・既知の一点を中心とし、それ以外の既知の点を通るような円を描く。
・互いに平行でない既知の二直線から、その交点を得る。
・既知の円と直線から、その高々二個の交点を得る。
・既知の二つの円から、その高々二個の交点を得る。
阿原さんの『シンデレラで学ぶ平面幾何』にも「モール-マスケローニの定理」（定規とコンパスで作図可能な任意の幾何学的作図問題は、コンパスのみでも可能である）への言及があります。高次の代数曲線レムニスケートそのものは定規とコンパスを有限回使って描けないけれど、それを描く器具は簡単に作れそうです。Cinderellaの操作に慣れていれば５分もかかりません。
クリックすると図が拡大します。作図の手順は以下の通りです。
１、任意の点Ａ、Ｂを打ち、点Ａ・Ｂを通る直線を引きます。距離ＡＢを単位長＝１とします。
２、ＡとＢを中心とする半径１の円を描きます。二つの円の交点（ＣとＤ）を通る直線を描けば、これが線分ＡＢの垂直２等分線、交点はＥです。
３、Ｅを中心とする半径１の円を描き、線分ＣＤの延長との交点をＦ、線分ＡＢの延長との交点をＧとします。
４、線分ＦＧの長さは√２になります。ＦＧの長さを「コンパス」で写し取り、点Ｅを中心とする円を描き、線分ＡＢの延長との交点をＨとします。続いてＨを中心とする半径１の円をコンパスを使って描きます。
５、Ｅを中心とする単位円上に「点を加える」操作で、点Ｋを打ちます。順番に点が描かれますが、何故かＩとＪが飛ばされます。点Ｋを「要素を動かす」操作でドラッグすると、円周上だけで動く事が確認できます。
６、コンパスで線分ＦＧの長さ√２を写し取り、点Ｋを中心とし半径√２の円を描き、Ｈを中心とする単位円との交点をＬとします。
７、線分ＫＬの中点Ｍを打ちます。中点がＭだと気持ちが良いですね。
８、線分ＥＫと線分ＨＬを加えます。「要素を動かす」操作で点Ｋをドラッグして見ましょう。線分ＥＫが原動節（crank)、線分ＫＬが連結節（couppler)、線分ＨＬが従動節（follower)として機構を為す事が確認出来ました。
９、次に「軌跡」のアイコンをクリックし、点Ｋをクリック、次に点Ｍをクリックすると点Ｍの軌跡が描かれます。
１０、アニメーションを実行するには「アニメーション」のアイコンをクリックしてから点Ｋ→点Ｍをクリックするだけです。
１１、作図に使った補助円が目障りなので要素を選択して非表示にし、線分の色や太さを加えて完成です。ＡＨの中点にＮを入れ、４５度傾いた赤い線も加えてみました。軌跡の範囲を示したかったのです。
中点Ｍの軌跡がレムニスケートを描くことは、以下のように示されます。
ＥＨ＝ＫＬ＝√２・ＥＫ＝√２・ＨＬ
ＭはＫＬの中点
⊿ＥＫＬ∽⊿ＬＫＥ、⊿ＫＬＨ∽⊿ＨＬＭ
また⊿ＭＥＫ∽⊿ＭＫＨから
ＫＭ^2＝ＥＭ・ＭＨ
定点Ｅ・ＨからＭまでの距離の積が一定（1/2）なので点Ｍはレムニスケートを描く。
出来ればブログで要素を動かしたり、アニメーションを実行できるようなインタラクティブなページ作りたいのですが、gooブログにはＪａｖａのランタイムを置く事が出来ません。近い将来どこかに自前の置き場所を確保したいと思っています。
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(12/02/21追記）Ciderella1.4の動画を作ることが出来ました。
スクリーンをキャプチャするフリーのツールを使いました。無料で使えますが、ユーザ登録する必要があります。今後営業用のメールが沢山来そうで憂鬱です。
前々から気になっていたベルヌーイのレムニスケートを描く器具の説明に見入ってしまいます。同書111ページ。手先が不器用なので、作る前にCinderellaで動かしてみようと思い立ちました。それも初等幾何学の伝統に従って「定規とコンパス」だけを使って作図しようと決めました。定規とコンパスだけを使って作図するとは以下の条件に従う事を要請します。
・既知の二点に対し、それらを通る直線を引く。
・既知の一点を中心とし、それ以外の既知の点を通るような円を描く。
・互いに平行でない既知の二直線から、その交点を得る。
・既知の円と直線から、その高々二個の交点を得る。
・既知の二つの円から、その高々二個の交点を得る。
阿原さんの『シンデレラで学ぶ平面幾何』にも「モール-マスケローニの定理」（定規とコンパスで作図可能な任意の幾何学的作図問題は、コンパスのみでも可能である）への言及があります。高次の代数曲線レムニスケートそのものは定規とコンパスを有限回使って描けないけれど、それを描く器具は簡単に作れそうです。Cinderellaの操作に慣れていれば５分もかかりません。
クリックすると図が拡大します。作図の手順は以下の通りです。
１、任意の点Ａ、Ｂを打ち、点Ａ・Ｂを通る直線を引きます。距離ＡＢを単位長＝１とします。
２、ＡとＢを中心とする半径１の円を描きます。二つの円の交点（ＣとＤ）を通る直線を描けば、これが線分ＡＢの垂直２等分線、交点はＥです。
３、Ｅを中心とする半径１の円を描き、線分ＣＤの延長との交点をＦ、線分ＡＢの延長との交点をＧとします。
４、線分ＦＧの長さは√２になります。ＦＧの長さを「コンパス」で写し取り、点Ｅを中心とする円を描き、線分ＡＢの延長との交点をＨとします。続いてＨを中心とする半径１の円をコンパスを使って描きます。
５、Ｅを中心とする単位円上に「点を加える」操作で、点Ｋを打ちます。順番に点が描かれますが、何故かＩとＪが飛ばされます。点Ｋを「要素を動かす」操作でドラッグすると、円周上だけで動く事が確認できます。
６、コンパスで線分ＦＧの長さ√２を写し取り、点Ｋを中心とし半径√２の円を描き、Ｈを中心とする単位円との交点をＬとします。
７、線分ＫＬの中点Ｍを打ちます。中点がＭだと気持ちが良いですね。
８、線分ＥＫと線分ＨＬを加えます。「要素を動かす」操作で点Ｋをドラッグして見ましょう。線分ＥＫが原動節（crank)、線分ＫＬが連結節（couppler)、線分ＨＬが従動節（follower)として機構を為す事が確認出来ました。
９、次に「軌跡」のアイコンをクリックし、点Ｋをクリック、次に点Ｍをクリックすると点Ｍの軌跡が描かれます。
１０、アニメーションを実行するには「アニメーション」のアイコンをクリックしてから点Ｋ→点Ｍをクリックするだけです。
１１、作図に使った補助円が目障りなので要素を選択して非表示にし、線分の色や太さを加えて完成です。ＡＨの中点にＮを入れ、４５度傾いた赤い線も加えてみました。軌跡の範囲を示したかったのです。
中点Ｍの軌跡がレムニスケートを描くことは、以下のように示されます。
ＥＨ＝ＫＬ＝√２・ＥＫ＝√２・ＨＬ
ＭはＫＬの中点
⊿ＥＫＬ∽⊿ＬＫＥ、⊿ＫＬＨ∽⊿ＨＬＭ
また⊿ＭＥＫ∽⊿ＭＫＨから
ＫＭ^2＝ＥＭ・ＭＨ
定点Ｅ・ＨからＭまでの距離の積が一定（1/2）なので点Ｍはレムニスケートを描く。
出来ればブログで要素を動かしたり、アニメーションを実行できるようなインタラクティブなページ作りたいのですが、gooブログにはＪａｖａのランタイムを置く事が出来ません。近い将来どこかに自前の置き場所を確保したいと思っています。
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(12/02/21追記）Ciderella1.4の動画を作ることが出来ました。
スクリーンをキャプチャするフリーのツールを使いました。無料で使えますが、ユーザ登録する必要があります。今後営業用のメールが沢山来そうで憂鬱です。
