x≧0,y≧0,3x＋2y≦6n に属する格子点の個数は？

正の整数kに対してakを√kに最も近い整数とする。a5＝2,a8＝3,a20＝4。a1＋a2＋・・・＋a2013＝？

x,y,z,n：0以上の整数。

x＋y≦3 を満たす組 (x,y) の個数は？

x＋y≦n を満たす組 (x,y) の個数は？

x＋y＋z≦n を満たす組 (x,y,z) の個数は？

x/3＋y≦n を満たす組 (x,y) の個数は？

n本の直線を引くと平面はいくつに分割されるか？どの直線も互いに平行でなく、1点で3本以上が交わることはないとする。

3^n－1/3^n と 3^(n+1)－1/3^(n+1) (n：自然数) の間にある整数の個数をanとする。Sn＝1/a1＋1/a2＋1/a3＋・・・＋n/an＝？

2進法で表された数列 1,10,101,1010,10101,101010,・・・について第11項を10進法で表せ。初項から第2m項までの総和を、mを用いて10進法で表せ。

自然数から異なる数a,bを取り出し、1より小さい分数a/bを作る。（1/2,2/4,4/8・・・は異なるとする）これらの分数は何個あるか？総和は？

a1＋a5＝738,Σ[i=1,5] ai＝1089,ai＞ai+1 のとき、 a1,a2,a3,a4,a5＝？

a1＝a(9＜a＜10),an+1＝lanl－1(n≧1)で定め、Sn＝Σ[k=1,n] akとおく。Sn＝0が成り立つnが存在するようなaの最大値は？

S(n)＝Σ[k=1,n] k^5 とする。S(n)＝1/12・n^2・(n＋1)^2・(2n^2＋2n＋1)を証明せよ。S(n)＝1001^2となるnは？

n≧2とし、(x＋1)(x＋3)(x＋5)・・・｛x＋(2n－1)｝を展開する。x^n-1とx^n-2の係数は？

数列 1/1,1/2,2/2,1/3,2/3,3/3,1/4,2/4,3/4,4/4,1/5,・・・の初項から第10000項までのうちで、値が1/3に等しい項の個数は？

m＝n0＋n1/2＋n2/2^2 (m,n0,n1,n2；負でない整数)と表す。この表し方の組 (n0,n1,n2) の個数をAmとし、そのうち n2＝0 の表し方の組(n0,n1,0) の個数をamとする。am,Amは？

数列 a,1,a^2,a,1,a^3,a^2,a,1,・・・がある。a＞1。 a^61は第何項か？ 第405項までの和は？

3辺の長さがいずれも70より小さい整数で、かつ等差数列になっている三角形は何個か？

kは正整数で2^k－1は素数である。a＝2^k-1・(2k－1)のすべての約数(1とaを含む)をa1,a2,a3,a4,・・・,an とするとき、Σ[i=1,n] 1/ai は？

a,b,ab (a＜0＜b) は適当に並べると等差数列にも等比数列にもなる。a,bは？

正整数kに対して、(k＋1/4)^2に最も近い整数を akとする。Σ[k=1,n] lak－(k＋1/4)^2l と Σ[k=1,n] lak－k^2l は？

正の整数kに対して、(k＋1/4)^2に最も近い整数をａkとするとき、(1)ｍを正の整数とするとき、ａ2m-1、ａ2mをそれぞれ求めよ。(2)項数nでk=1のΣａkを求めよ。

a1,a2,a3,・・・は、0＜an＜1 を満たす実数列である。a1,a2,a3,・・・,an の最大数をbnとおくとき、bn≦1－(1－a1)(1－a2)(1－an)≦a1＋a2＋・・・＋an が成り立つことを示せ。

x^3＋ax^2＋bx＋8＝0 が 実数解 p,q,r (p＜q＜r) をもち、それらがある順序で等比数列をなし、ある順序で等差数列をなす。a,b,p,q,r の値は？

a,b,ab (a＜0＜b) は適当に並べると等差数列にも等比数列にもなる。a,bは？

四角形ABCDの辺AB,BC,CD,DA,対角線BD,CAの長さをそれぞれa,b,c,d,x,yとする。四角形ABCDが円に外接するとき、数列a,b,c,dが等差数列であることと等比数列であることとは同値であることを示せ。四角形ABCDが円に内接するとき、数列a,b,x,c,d,yは等差数列ではないことを示せ。

a,b,c (a＜b＜c) を項として含む等差数列が存在するためには、

適当な自然数p,qによってb＝pa＋qc/p＋qと書き表せることが必要十分であるか？

log(n),log(n+1),log(n+2) (n;自然数) を項として含む等差数列は存在するか？

初項2、公差7/4の等差数列anと、初項1、公差3/2の等差数列bnの共通する項はどんな数列cnか？また、cn≦1000を満たす項のうち、整数でないものの和は？

S(n)＋S(n-1)＝a(n)^2 (n;自然数),S(0)＝0 において、a(n)・a(n+1)＞0のとき、a(n)は？　a(n)・a(n+1)＜0のとき、a(n)は？

1/2,2/3,1/3,3/4,2/4,1/4,4/5,3/5,2/5,1/5,5/6,4/6,3/6,・・・のとき、

18/25は第何項か？　第666項目の分数は？　初項から第666項目までの和は？

[x＋1/2]^2－[x－1/2]－7＝0 を満たすxの範囲は？

0≦x≦10 で y＝[√x] のグラフは？ 

数列 an＝log(2)(n) のとき、a100は？　a1＋a2＋・・・＋a2m-1＝？

an＝r＋(1/r)・an-1 (n≧2) ,a1＝r (r≠0) のとき、anは？b1＝r,bn＝an＋bn-1 (n≧2) を満たすbnは？

xn+1＝2xn＋1/2^n (n≧1) のとき、aを適当に定めれば、すべての自然数nに対して lxn－2^n・al≦1/3 が成り立つ事を示せ。 

a1＝a(9＜a＜10),an+1＝lanl－1(n≧1)で定め、Sn＝Σ[k=1,n] akとおく。Sn＝0が成り立つnが存在するようなaの最大値は？

an+1＝1/2・an (an;偶数),an+1＝an＋1 (an;奇数) とする。a1が偶数のとき、ak＜a1 となる奇数akは存在するか？a1が3以上の奇数のとき、ak＜a1 となる奇数akが存在するか？a1がどんな自然数であっても、ak＝1 となるakが存在するか？

a1＝1,a2＝3,an+2＝3an+1－7an とする。anが偶数になることと、nが3の倍数になることとは同値であるか？anが10の倍数となるための条件は？

a1＜b1,an,bn (n≧2) を帰納的に、nが偶数のとき、an＝(an-1＋bn-1)/2,bn＝bn-1,nが奇数のとき、an＝an-1,bn＝(an-1＋bn-1)/2 のように定める。an,bnをnの式で表せ。

(a^n＋b^n)/2≧{(a＋b)/2}^n (a,b＞0,n;自然数) の不等式の成立を示せ。

n；自然数のとき、次の不等式の成立を示せ。

√(2n＋1)－1＜1＋1/√3＋1/√5＋・・・＋1/(√(2n－1)＜√2n

任意の正の整数nに対して、不等式 2^(n+1)＞n(n＋1)＋1 の不等式の成立を示せ。

x^n＋1/x^n－2 は、x＋1/x－2 のn次の整式で表されることを示せ。

(3＋2√2)^n＝an＋bn√2 のとき、(3－2√2)^n＝an－bn√2 の不等式の成立を示せ。0＜2an(an－bn√2)－1＜1/5^2n の不等式の成立を示せ。

a1,a2,a3,・・・は、0＜an＜1 を満たす実数列である。a1,a2,a3,・・・,an の最大数をbnとおくとき、bn≦1－(1－a1)(1－a2)(1－an)≦a1＋a2＋・・・＋an が成り立つことを示せ。

0＜a1＜b1,1/an+1＝1/an＋1/2bn,2bn+1＝1/2an＋bn のとき、a2＜b2＜b1 の成立を示せ。任意の正整数nに対して、bn＞an+1 の成立を示せ。

(1＋√2)^n＝xn＋yn√2,n≧1 が成立するように整数xn,ynを定める。xn+1,yn+1をxn,ynで表せ。xn^2－2yn^2＝(－1)^n であることを示せ。任意のnに対して、xn+1/yn+1 は、xn/yn よりも√2のよい近似値であることを示せ。

Cn＝cosnθ,Sn＝sinnθ,x＝cosθ (n≧1,n;自然数) のとき、Cn+1＝2x・Cn－Cn-1 , Sn+1＝2x・Sn－Sn-1 を示せ。

整数x,y,n≧1,ak(1≦k≦n)が、a1＝x＋n－1,(n－1)ak-1＝nak(2≦k≦n),(n－1)an＝ny＋n－1,a1≠0 を満たしている。yをxとnで表せ。n＝3のとき最小の自然数x,yを求めよ。

1からnまでの自然数の総和が偶数になるのはどのような数の場合か？

1からnまでの自然数の総和が偶数であるとき、1からnまでの自然数を2つの組に分けてそれぞれの組に属する数の総和が等しくなるようにできることを示せ。

1より大きい相異なるn個(n≧3)の数の集合Ｍ＝{a1,a2,・・・,an}が「Ｍの相異なる要素ai,ajについてai÷ajかaj÷aiの一方が必ずＭに属する」という性質をもつ。このとき、a1,a2,・・・,anの順序を適当に変えると等比数列になることを示せ。

互いに異なるn個の実数の集合Ｓ＝が次の性質をもつという。「Ｓから相異なる要素ai,ajについてai－aj,aj－aiの少なくとも一方は必ずＳに属する」このとき、（1）次の2つのうちのいずれか一方が成り立つことを示せ。（イ）ai≧0(i＝1,2,・・・,n)（ロ）ai≦0(i＝1,2,・・・,n)（2）a1,a2,・・・,anの順序を適当に変えると等差数列になることを示せ。

実数a,b,c,dの大小関係がa＞b＞c＞dであるとき、3つの数ab＋cd,ac＋bd,ad＋bcの大きさを比較せよ。2n個の実数x1,x2,・・・,x2nの大小関係が

x1＞x2＞x3＞・・・＞x2n

であるとする。これら2n個の数を2個ずつからなるn個の積の総和を考える。このとき、もっとも大きな総和が得られる組み分けの仕方はどのようなものか。また、もっとも小さな総和が得られる組み分けの仕方はどのようなものか。

nを2以上の自然数とする。

x1≧x2≧・・・≧xnおよびy1≧y2≧・・・≧ynを満足する数列x1,x2,・・・,xnおよびy1,y2,・・・,ynが与えられている。y1,y2,・・・,ynを並び変えて得られるどのような数列z1,z2,・・・,znに対してもΣ[j=1,n] (xj－yj)^2≦Σ[j=1,n] (xj－zj)^2 であることを示せ。

y軸上の正の部分に中心をもち、放物線y＝x2と2点で接する円の列o1,o2,・・・,on,・・・を次の条件を満たすように定める。

o1の半径は1である。n≧2のとき、onはon-1に外接し、onの中心のy座標は、on-1の中心のy座標より大きい。このとき、円onの方程式を求めよ。

lxl＋lyl≦n (n;自然数) に属する格子点の個数は？

x≧0,y≧0,2x＋y≦2n に属する格子点の個数は？

x≧0,y≧0,3x＋2y≦6n に属する格子点の個数は？

2lxl＋lyl≦2n (n;自然数) に属する格子点の個数は？

1＜x＜2^(n+1),0＜y≦log_{2}(x) (n;正整数) に属する格子点の個数は？

y＝log_{2}(x),x軸および直線x＝1025で囲まれる図形の中で格子点の個数を求めよ。境界線上の点は含めない。

nを正整数とする。y＝nxとy＝x^2/2で囲まれる部分（境界を含む）に含まれる格子点の個数をNnとする。このとき、Nnをnの式で表せ。

x＋y＋z＝n,x≦y＋z,y≦z＋x,z≦x＋y,n≧3 を満たす正整数の組(x,y,z)の個数は？

正整数nをp進法で表し、その桁数をanとおくとき、lim[x→∞]log_{10}(n/an) は？