算額（その875）

算額（その875）

新潟県長岡市 蒼柴神社 亨和元年(1801)3月
http://www.wasan.jp/niigata/aoshi.html

涌田和芳，外川一仁: 長岡蒼柴神社の算額，長岡工業高等専門学校研究紀要，第42巻，第2号(2006)
https://kinpoku.nagaoka-ct.ac.jp/lib/kiyo/vol_41-45/vol_42_2/42_2_1wakuta.pdf

角錐台の中に大球 1 個，小球 4 個が入っている。上底，下底の正方形の一辺の長さがそれぞれ 2 寸，6 寸のとき，大球の直径はいかほどか。

角錐と角錐台の高さを h, h2
上底，下底の正方形の一辺の長さを 2a, 2b
大球の半径と中心座標を r1, (0, 0, h2 - r1)
小球の半径と中心座標を r2, (r2, r2, r2)
と置く。

eq1: x 軸 に対して 45° 方向の負の方向から投影すると，大円と小円は互いに外接している。

eq2, eq3, eq4: x 軸の正の方向から y-z 平面に投影された図形は下図のように大円，小円は角錐台の面に内接している。

これらの連立方程式を解く。

include("julia-source.txt");

using SymPy
@syms a::positive, b::positive, r1::positive, r2::positive, h::positive, h2::positive, d
(a, b) = (1, 3)
eq1 = 2r2^2 + (h2 - r1 - r2)^2 - (r1 + r2)^2 |> expand
eq2 = (b + h - 2r2)^2 - (h^2 + b^2)  # 3 + h - sqrt(h^2 + 9) - 2r2
eq3 = b/h - a/(h - h2)
eq4 = numerator(apart(dist(0, h, b, 0, 0, h2 - r1) - r1^2, d))
res = solve([eq1, eq2, eq3, eq4], (r1, r2, h, h2));
res[1]  # 1 of 3

   (3/2, 6/5, 36/5, 24/5)

3 組の解が得られるが，最初のものが適解である。

上底，下底の正方形の一辺の長さがそれぞれ 2 寸，6 寸のとき，大球の直径は 3 寸である。

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   (r1, r2, h, h2) = (3/2, 6/5, 36/5, 24/5)
   plot([b, 0, -b, b], [0, h, 0, 0], color=:blue, lw=0.5)
   circle(0, h2-r1,r1, :green)
   circle(r2, r2, r2)
   circle(-r2, r2, r2, :lightpink)
   circle(0, r2, r2, :lightpink)
   segment(-a, h2, a, h2, :blue)
   if more        
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(0, h2-r1, "大球:r1,(0,0,h2-r1)", :green, :center, delta=-delta/2)
       point(r2, r2, "小球:r2,(r1,r1,r1)", :red, :center, delta=-delta/2)
       point(0, h2, "h2 ", :blue, :right, :bottom, delta=delta/2)
       point(a, h2, "(a,h2) ", :blue, :right, :bottom, delta=delta/2)
       point(b, 0, "b ", :blue, :right, :bottom, delta=delta/2)
       point(0, h, "h ", :blue, :right, :bottom, delta=delta/2)
   end
end;

function draw2(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   (r1, r2, h, h2) = (3/2, 6/5, 36/5, 24/5)
   plot(√2 .* [b, a, -a, -b, b], [0, h2, h2, 0, 0], color=:blue, lw=0.5)
   circle(√2r2, r2, r2)
   circle(-√2r2, r2, r2, :lightpink)
   circle(0, r2, r2, :lightpink)
   circle(0, h2 - r1, r1, :green)
   if more        
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2 
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(0, h2-r1, "大球:r1,(0,0,h2-r1)", :green, :center, delta=-delta/2)
       point(√2r2, r2, "小球:r2,(√2r1,r1,r1)", :red, :center, delta=-delta/2)
       point(0, h2, "h2 ", :blue, :right, :bottom, delta=delta/2)
       point(√2a, h2, "(√2a,h2) ", :blue, :right, :bottom, delta=delta/2)
       point(√2b, 0, "b ", :blue, :right, :bottom, delta=delta/2)
       #point(0, h, "h ", :blue, :right, :bottom, delta=delta/2)
   end
end;