算額（その1112）

算額（その1112）

百 大船渡市猪川町 雨宝堂 現雨宝山竜宝院 文政10年(1827)
山村善夫：現存 岩手の算額，昭和52年1月30日，熊谷印刷，盛岡市.
http://www.wasan.jp/yamamura/yamamura.html
キーワード：円5個，正三角形

大円 2 個と正三角形が交差している。隙間に小円を 3 個容れる。小円の直径が 1 寸のとき，正三角形の一辺の長さはいかほどか。

正三角形の一辺の長さを 2a
大円の半径と中心座標を r1, (x1, r1); x1 = r1 - r2
小円の半径と中心座標を r2, (0, r1), (x2, y2); x2 = r1
とおき，以下の連立方程式を解く。

include("julia-source.txt")

using SymPy
@syms a::positice, r1::positive, r2::positive, x2::positive, y2::positive
x1 = r1 - r2
x2 = r1
eq1 = (x2 - x1)^2 + (y2 - r1)^2 - (r1 - r2)^2
eq2 = dist2(0, √Sym(3)a, -a, 0, x1, r1, r1)
eq3 = (y2 - r1)√Sym(3) - (x2 - x1);
res = solve([eq1, eq2, eq3], (a, r1, y2))[1];

a は簡約化できる。

#= a  =# res[1] |> sympy.sqrtdenest |> simplify |> println
#= r1 =# res[2] |> simplify |> println
#= y2 =# res[3] |> simplify |> println

   r2*(sqrt(3) + 6)/3
   r2*(3 + 2*sqrt(3))/3
   r2*(1 + sqrt(3))

正三角形の一辺の長さ 2a は，小円の半径 r2 の 2(√3 + 6)/3 倍である
小円の直径が 1 寸のとき，正三角形の一辺の長さは (√3 + 6)/3 = 2.5773502691896257 である。

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   r2 = 1/2
   (a, r1, y2) = r2 .*((sqrt(3) + 6)/3, (3 + 2*sqrt(3))/3, 1 + sqrt(3))
   x2 = r1
   x1 = r1 - r2
   @printf("小円の直径が %g のとき，正三角形の一辺の長さは %g である。\n", 2r2, 2a)
   plot([a, 0, -a, a], [0, √3a, 0, 0], color=:green, lw=0.5)
   circle2(x1, r1, r1)
   circle2(x2, y2, r2, :blue)
   circle(0, r1, r2, :blue)
   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(x1, r1, "  大円:r1,(x1,r1)", :red, :left, :vcenter)
       point(0, r1, "小円:r2,(0,r1)", :blue, :center, delta=-delta/2)
       point(x2, y2, "小円:r2,(x2,y2)", :blue, :center, delta=-delta/2)
       point(a, 0, " a", :green, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(0, √3a, " √3a", :green, :left, :vcenter)
   end
end;