算額（その702）

算額（その702）

埼玉の算額ほか
https://gunmawasan.web.fc2.com/files/saitama-sangaku-h24.html
愛宕神社の復元算額　明治１３年（部分拡大図）（加須市）
https://gunmawasan.web.fc2.com/files/sangak-corner/atago-3s.jpg

直径が 25 寸の外円の中に，菱形 1 個，甲円 2 個，乙円 8 個が入っている。左右にある 2 個の乙円は甲円に内接している。

外円の半径と中心座標を R, (0, 0)
甲円の半径と中心座標を r1, (R/2, 0)
第一象限にある 2 個の乙円の半径と中心座標を r2, (x2, r2), (r2, y2)
菱形の短い方の対角線（菱平）の長さを b とする。菱形の長い方の対角線は外円の周上にある。
第一象限の上方にある中心座標が (r2, y2) の乙円は菱形の斜辺に接している。

この問題は，条件が足りないように思える。
そもそも，答えでは「菱平は四寸四分六厘七毛有奇」とあるが，外円の半径が12.5寸なのに，菱平が 4.467 寸ほどしかないような図は存在しないない。
算額でよくあるように，答えがきれいな数になるような条件を探索すると，乙円の直径が2寸のときに菱平が 22.008990377897288 になることがわかる。

このときの図は以下のようになる。

よって，この問題は条件，「乙円の直径が2寸のとき」を追加して解く。

なお，術にも数文字の欠損が見られ，問・答・術を通じて真実はわからない。

include("julia-source.txt");

using SymPy
@syms R::positive, b::positive, r1::positive,
     r2::positive, x2::positive, y2::positive
R = 25//2
r1 = R/2
r2 = 2//2
eq1 = (x2 - r1)^2 + r2^2 - (r1 - r2)^2
eq2 = dist(0, b, R, 0, r2, y2) - r2^2
eq3 = r2^2 + y2^2 - (R - r2)^2
eq4 = r2/(R - x2) - b/R
res = solve([eq1, eq2, eq3], (x2, y2, b))

   4-element Vector{Tuple{Sym, Sym, Sym}}:
    (25/4 - 5*sqrt(17)/4, 5*sqrt(42)*sqrt(537 - 92*sqrt(2))/521 + 115*sqrt(21)*sqrt(537 - 92*sqrt(2))/1042, 5*sqrt(179/28 - 23*sqrt(2)/21))
    (25/4 - 5*sqrt(17)/4, -5*sqrt(42)*sqrt(92*sqrt(2) + 537)/521 + 115*sqrt(21)*sqrt(92*sqrt(2) + 537)/1042, 5*sqrt(23*sqrt(2)/21 + 179/28))
    (5*sqrt(17)/4 + 25/4, 5*sqrt(42)*sqrt(537 - 92*sqrt(2))/521 + 115*sqrt(21)*sqrt(537 - 92*sqrt(2))/1042, 5*sqrt(179/28 - 23*sqrt(2)/21))
    (5*sqrt(17)/4 + 25/4, -5*sqrt(42)*sqrt(92*sqrt(2) + 537)/521 + 115*sqrt(21)*sqrt(92*sqrt(2) + 537)/1042, 5*sqrt(23*sqrt(2)/21 + 179/28))

4組の解が得られるが，3 番目のものが適解である。
これに従うと，菱平は22寸有奇ということになる。

res[3][3] |> sympy.sqrtdenest |> println
res[3][3].evalf()*2 |> println

   5*sqrt(21)*(23 - 2*sqrt(2))/42
   22.0089903778973

その他のパラメータは以下のとおりである。

R = 12.5;  r1 = 6.25;  r2 = 1;  x2 = 11.4039; y2 = 11.4564, b = 11.0045

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   R = 25//2
   r1 = R/2
   r2 = 2//2  # 追加条件
   (x2, y2, b) = (5*sqrt(17)/4 + 25/4, 5*sqrt(42)*sqrt(537 - 92*sqrt(2))/521 + 115*sqrt(21)*sqrt(537 - 92*sqrt(2))/1042, 5*sqrt(179/28 - 23*sqrt(2)/21))
   println("菱平（短い方の対角線） = $(2b)")
   @printf("R = %g;  r1 = %g;  r2 = %g;  x2 = %g; y2 = %g, b = %g\n", R, r1, r2, x2, y2, b)
   plot([R, 0, -R, 0, R], [0, b, 0, -b, 0], color=:black, lw=0.5)
   circle(0, 0, R, :magenta)
   circle4(r2, y2, r2)
   circle4(x2, r2, r2)
   circle(r1, 0, r1, :blue)
   circle(-r1, 0, r1, :blue)
   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:black, lw=0.5)
       vline!([0], color=:black, lw=0.5)
       point(r2, x2, " 乙円:r2,(r2,y2)", :black, :left, :vcenter)
       point(x2, r2, " 乙円:r2,(x2,r2)", :black, :left, :vcenter)
       point(R, 0, " R", :magenta, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(r1, 0, "甲円:r1\n(r1,0)", :blue, :center, delta=-delta/2)
       point(0, b, " b", :black, :left, :top, delta=-2delta)
   end
end;