算額（その2095）

算額（その2095）

二十五 群馬県高崎市木部町 木部村鎮守社 文化10年(1813)
群馬県和算研究会:群馬の算額，上武印刷株式会社，高崎市，1987年3月31日.
キーワード：円2個

大小の円が交わっている。大円と小円の直径の和が 21.6 寸，大小の矢の和が 3.6 寸，両弦が 8 寸のとき，大円の直径はいかほどか。

大円と小円の直径の和を「径和」
大小の矢の和を「矢和」
両弦を「両弦」
大円の半径と中心座標を r1, (0, 0)
小円の半径と中心座標を r2, (0, r1 - 矢和 + r2)
大小円の交点座標を (x, y)
とおき，以下の連立方程式を解く。

include("julia-source.txt");

using SymPy
@syms r1::positive, r2::positive,
     x::positive, y::positive,
     径和::positive, 矢和::positive, 両弦::positive;
x = 両弦/2
eq1 = r1 + r2 - 径和
eq2 = x^2 + y^2 - r1^2
eq3 = x^2 + (y - (r1 - 矢和 + r2))^2 - r2^2;

res = solve([eq1, eq2, eq3], (r1, r2, y))[2]  # 2 of 2

   ((4*径和^3*sqrt(矢和) - 4*径和^2*矢和^(3/2) + 2*径和^2*sqrt(-2*両弦^2*径和 + 両弦^2*矢和 + 4*径和^2*矢和 - 4*径和*矢和^2 + 矢和^3) + 径和*矢和^(5/2) - 3*径和*矢和*sqrt(-2*両弦^2*径和 + 両弦^2*矢和 + 4*径和^2*矢和 - 4*径和*矢和^2 + 矢和^3) + 矢和^2*sqrt(-2*両弦^2*径和 + 両弦^2*矢和 + 4*径和^2*矢和 - 4*径和*矢和^2 + 矢和^3))/(2*sqrt(矢和)*(4*径和^2 - 4*径和*矢和 + 矢和^2)), (4*径和^3*sqrt(矢和) - 4*径和^2*矢和^(3/2) - 2*径和^2*sqrt(-2*両弦^2*径和 + 両弦^2*矢和 + 4*径和^2*矢和 - 4*径和*矢和^2 + 矢和^3) + 径和*矢和^(5/2) + 3*径和*矢和*sqrt(-2*両弦^2*径和 + 両弦^2*矢和 + 4*径和^2*矢和 - 4*径和*矢和^2 + 矢和^3) - 矢和^2*sqrt(-2*両弦^2*径和 + 両弦^2*矢和 + 4*径和^2*矢和 - 4*径和*矢和^2 + 矢和^3))/(2*sqrt(矢和)*(4*径和^2 - 4*径和*矢和 + 矢和^2)), 径和/2 + 径和*sqrt(-(2*径和 - 矢和)*(両弦^2 - 2*径和*矢和 + 矢和^2))/(2*sqrt(矢和)*(2*径和 - 矢和)) - 矢和/2)

大円の半径 r1
res[1](径和 => 21.6/2, 矢和 => 3.6, 両弦 => 8) |> println

   5.80000000000000

大小円径和が 10.8，大小矢和が 3.6，両弦が 8 のとき，大円の直径は 11.6 である。

小円の半径 r2
res[2](径和 => 21.6/2, 矢和 => 3.6, 両弦 => 8) |> println

   5.00000000000000

y
res[3](径和 => 21.6/2, 矢和 => 3.6, 両弦 => 8) |> println

   4.20000000000000

x
(両弦/2)(両弦 => 8).evalf() |> println

   4.00000000000000

共通項を一時変数に置き換えると，以下のように若干簡単に書ける。
   t = sqrt((矢和 - 2径和)*(両弦^2 - 2径和*矢和 + 矢和^2))
   u = 4径和^3*√矢和 - 4径和^2*矢和^(3/2) + 径和*矢和^(5/2)
   v = 2径和^2*t - 3径和*矢和*t + 矢和^2*t
   w = 2√矢和*(2径和 - 矢和)^2
   r1 = (u + v)/w
   r2 = (u - v)/w
   y = 径和/2 + 径和*sqrt((矢和 - 2*径和)*(両弦^2 - 2*径和*矢和 + 矢和^2))/(2√矢和*(2径和 - 矢和)) - 矢和/2

function draw(径和, 矢和, 両弦, more)
    pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   t = sqrt((矢和 - 2径和)*(両弦^2 - 2径和*矢和 + 矢和^2))
   u = 4径和^3*√矢和 - 4径和^2*矢和^(3/2) + 径和*矢和^(5/2)
   v = 2径和^2*t - 3径和*矢和*t + 矢和^2*t
   w = 2√矢和*(2径和 - 矢和)^2
   r1 = (u + v)/w
   r2 = (u - v)/w
   y = 径和/2 + 径和*sqrt((矢和 - 2*径和)*(両弦^2 - 2*径和*矢和 + 矢和^2))/(2√矢和*(2径和 - 矢和)) - 矢和/2
   x = 両弦/2
   @printf("大小円径和が %g，大小矢和が %g，両弦が %g のとき，大円の直径は %g である。\n", 径和, 矢和, 両弦, 2r1)
   @printf("r1 = %g;  r2 = %g;  x = %g;  y = %g\n", r1, r2, x, y)
   plot()
   circle(0, 0, r1)
   circle(0, r1 - 矢和 + r2, r2, :blue)
   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(0, 0, "大円:r1,(0,0)", :red, :center, delta=-delta/2)
       point(0, r1 - 矢和 + r2, "小円:r2,(0,r1-矢和+r2)", :blue, :center, delta=-delta/2)
       point(x, y, " (x,y)", :green, :left, :vcenter, mark=false)
       dimension_line(-x, y, x, y, "両弦", :green, :right, :bottom, delta=delta, deltax=-2delta)
       dimension_line(0, r1 - 矢和, 0, r1, " 矢和", :magenta, :left, delta=-3delta)
   end  
end;

draw(21.6/2, 3.6, 8, true)