算額（その627）

算額（その627）

和算図形問題あれこれ
令和4年9月の問題-No.2
https://gunmawasan.web.fc2.com/kongetu-no-mondai.html

大球の中に甲球 2 個と乙球 5 個が入っている。甲球は交差しており，乙球の 1 個が交差部分に内接している。残りの 4 個の乙球は甲球と外接し大球に内接している。
甲球の直径が 987 寸のとき，乙球の直径はいかほどか。

図は，3次元空間を Z 軸方向上方から見たものであり，中央の乙球は手前と奥を含めて 3 個が一直線上に並んでいる。図の上下の乙球と甲球は x-y 平面上(z = 0）に中心を持つ。

大球の半径と中心座標を R, (0, 0)
甲球の半径と中心座標を r1, (R - r1, 0)
乙球の半径と中心座標を r2, (0, R - r2)
とおき，以下の連立方程式を解き，大球，乙球の半径を求める。

include("julia-source.txt");
# julia-source.txt ソース　https://blog.goo.ne.jp/r-de-r/e/ad3a427b84bb416c4f5b73089ae813cf

using SymPy

@syms R, r1, r2

r1 = 987//2
eq1 = (2r1 - r2) - R
eq2 = (R - r1)^2 + (R - r2)^2 - (r1 + r2)^2
res = solve([eq1, eq2], (R, r2))

   2-element Vector{Tuple{Sym, Sym}}:
    (987/4 - 987*sqrt(5)/4, 987*sqrt(5)/4 + 2961/4)
    (987/4 + 987*sqrt(5)/4, 2961/4 - 987*sqrt(5)/4)

2 番目のものが適解である。

R = 987/4 + 987*sqrt(5)/4
r2 = 2961/4 - 987*sqrt(5)/4
(R, r2)

   (798.4997734480731, 188.50022655192686)

r2 はほんの少しだけ簡約化できる。

res[2][2] |> factor |> println

   -987*(-3 + sqrt(5))/4

987(3 - √5)/4, 987(3 - √5)/2

   (188.50022655192686, 377.0004531038537)

乙球の直径は 987(3 - √5)/2 = 377.0004531038537 である。

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   r1 = 987//2
   R = 987/4 + 987*sqrt(5)/4
   r2 = 2961/4 - 987*sqrt(5)/4
   @printf("乙球の直径 = %g;  R = %g; r2 = %g;  r1 = %g\n", 2r2, R, r2, r1)
   plot()
   circle(0, 0, R, :black)
   circle(R - r1, 0, r1, :blue)
   circle(r1 - R, 0, r1, :blue)
   circle(0, 0, r2)
   circle(0, R - r2, r2)
   circle(0, r2 - R, r2)
   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       vline!([0], color=:black, lw=0.5)
       hline!([0], color=:black, lw=0.5)
       point(R - r1, 0, "甲球:r1", :blue, :center, delta=-delta/2)
       point(0, R - r2, "乙球:r2", :red, :left, :vcenter)
       point(R, 0, "R ", :black, :right, delta=-delta/2)
   end
end;