算額（その865）

算額（その865）

岩手県平泉町　中尊寺阿弥陀堂（中尊寺地蔵院にて保管） 安政6年(1859)
http://www.wasan.jp/iwate/chusonji3.html

牧下英世：数学史を取り入れた授業実践―算額の教材化と総合的な学習―，2000筑波大学附属駒場論集第40集
https://tsukuba.repo.nii.ac.jp/record/6486/files/10.pdf

外円内に，水平な弦を 1 本と斜線を 2 本描き，区画された領域に大円 1 個と等円 3 個を入れる。外円と大円の直径がわかったとき，等円の直径はいかほどか。

弦と y 軸の交点座標を (0, y)
外円と斜線の交点を (x00, y00), (01, y01)
外円の半径と中心座標を R, (0, 0)
大円の半径と中心座標を r1, (0, r1 - R)
等円の半径と中心座標を r2, (0, R - r2), (x2, y + r2)
とおき，以下の連立方程式の数値解を求める。

include("julia-source.txt");

using SymPy
@syms R::positive, r1::positive, r2::positive,
     x2::positive, y::positive, x00::positive,
     y00::positice,  x01::positive, y01::positive, d
y = 2r1 - R
eq1 = dist(x01, y01, -x00, y00, x2, y + r2) - r2^2
eq2 = dist(-x01, y01, x00, y00, 0, R - r2) - r2^2
eq3 = dist(-x01, y01, x00, y00, 0, r1 - R) - r1^2
eq4 = x2^2 + (y + r2)^2 - (R - r2)^2
eq5 = (x01^2 + y01^2) - R^2
eq6 = (x00^2 + y00^2) - R^2
eq1 = numerator(apart(eq1, d)) |> simplify
eq2 = numerator(apart(eq2, d)) |> simplify
eq3 = numerator(apart(eq3, d)) |> simplify;

using NLsolve

function nls(func, params...; ini = [0.0])
   if typeof(ini) <: Number
       r = nlsolve((vout, vin) -> vout[1] = func(vin[1], params..., [ini]), ftol=big"1e-40")
       v = r.zero[1]
   else
       r = nlsolve((vout, vin)->vout .= func(vin, params...), ini, ftol=big"1e-40")
       v = r.zero
   end
   return Float64.(v), r.f_converged
end;

function H(u)
   (r2, x2, x00, y00, x01, y01) = u
   return [
R^2*x00^2 + 2*R^2*x00*x01 + R^2*x01^2 - 4*R*r1*x00^2 - 8*R*r1*x00*x01 - 4*R*r1*x01^2 - 2*R*r2*x00^2 - 4*R*r2*x00*x01 - 2*R*r2*x01^2 + 2*R*x00^2*y01 + 2*R*x00*x01*y00 + 2*R*x00*x01*y01 - 2*R*x00*x2*y00 + 2*R*x00*x2*y01 + 2*R*x01^2*y00 - 2*R*x01*x2*y00 + 2*R*x01*x2*y01 + 4*r1^2*x00^2 + 8*r1^2*x00*x01 + 4*r1^2*x01^2 + 4*r1*r2*x00^2 + 8*r1*r2*x00*x01 + 4*r1*r2*x01^2 - 4*r1*x00^2*y01 - 4*r1*x00*x01*y00 - 4*r1*x00*x01*y01 + 4*r1*x00*x2*y00 - 4*r1*x00*x2*y01 - 4*r1*x01^2*y00 + 4*r1*x01*x2*y00 - 4*r1*x01*x2*y01 - r2^2*y00^2 + 2*r2^2*y00*y01 - r2^2*y01^2 - 2*r2*x00^2*y01 - 2*r2*x00*x01*y00 - 2*r2*x00*x01*y01 + 2*r2*x00*x2*y00 - 2*r2*x00*x2*y01 - 2*r2*x01^2*y00 + 2*r2*x01*x2*y00 - 2*r2*x01*x2*y01 + x00^2*y01^2 + 2*x00*x01*y00*y01 - 2*x00*x2*y00*y01 + 2*x00*x2*y01^2 + x01^2*y00^2 - 2*x01*x2*y00^2 + 2*x01*x2*y00*y01 + x2^2*y00^2 - 2*x2^2*y00*y01 + x2^2*y01^2,  # eq1
R^2*x00^2 + 2*R^2*x00*x01 + R^2*x01^2 - 2*R*r2*x00^2 - 4*R*r2*x00*x01 - 2*R*r2*x01^2 - 2*R*x00^2*y01 - 2*R*x00*x01*y00 - 2*R*x00*x01*y01 - 2*R*x01^2*y00 - r2^2*y00^2 + 2*r2^2*y00*y01 - r2^2*y01^2 + 2*r2*x00^2*y01 + 2*r2*x00*x01*y00 + 2*r2*x00*x01*y01 + 2*r2*x01^2*y00 + x00^2*y01^2 + 2*x00*x01*y00*y01 + x01^2*y00^2,  # eq2
R^2*x00^2 + 2*R^2*x00*x01 + R^2*x01^2 - 2*R*r1*x00^2 - 4*R*r1*x00*x01 - 2*R*r1*x01^2 + 2*R*x00^2*y01 + 2*R*x00*x01*y00 + 2*R*x00*x01*y01 + 2*R*x01^2*y00 - r1^2*y00^2 + 2*r1^2*y00*y01 - r1^2*y01^2 - 2*r1*x00^2*y01 - 2*r1*x00*x01*y00 - 2*r1*x00*x01*y01 - 2*r1*x01^2*y00 + x00^2*y01^2 + 2*x00*x01*y00*y01 + x01^2*y00^2,  # eq3
x2^2 - (R - r2)^2 + (-R + 2*r1 + r2)^2,  # eq4
-R^2 + x01^2 + y01^2,  # eq5
-R^2 + x00^2 + y00^2,  # eq6
   ]
end;
R = 10
r1 = 7
iniv = R .* BigFloat[0.24326219426446974, 0.5286032540384469, 0.9666966139569063, -0.2559250995198634, 0.5325907580969444, 0.8463728991347266]
res = nls(H, ini=iniv)

   ([2.1106684356050365, 4.9901186161311815, 9.935099850667232, -1.137449320748823, 5.01652946256841, 8.65068969222588], true)

外円の直径が 20，大円の直径が 14 のとき，等円の直径は 4.221336871210073 である。

その他のパラメータは以下のとおりである。

   R = 10;  r1 = 7;  y = 4;  r2 = 2.11067;  x2 = 4.99012;  x00 = 9.9351;  y00 = -1.13745;  x01 = 5.01653;  y01 = 8.65069

算額に書かれている術は次のとおりである。注
術曰置外圓径大圓径以除之開平方加一個以除外圓径二段内減大圓径除得等圓径合問

現代文で書くと，以下のようになろう。
外円の直径を大円の直径で割り，この平方根を求め，1 を加えたもので，外円の直径を 2 倍したものを割り，大円の直径を引くと等円の直径が得られる，これは問に合っている。

式で書くと，外円，大円の直径をそれぞれ「外」，「大」とすれば，2外/(sqrt(外/大) + 1) - 大 で，外円の直径が 20，大円の直径が 14 のとき，等円の直径が 4.22133687121007 であるとわかる。
これは，上に述べた数値解と一致する。

注：牧下は術の前半 17 文字を抜いてるので，意味をなさなくなっている。wasan.jp の算額の写真は不鮮明であるがここに書いたものと相違ない（数値解と一致するので間違いない）。

外 = 20
大 = 14
2外/(sqrt(外/大) + 1) - 大 |> println

   4.22133687121007

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   # R = 1
   # r1 = 0.65
   y = 2r1 - R
   (r2, x2, x00, y00, x01, y01) = [28, 60, 110, -32, 60, 97]
   (r2, x2, x00, y00, x01, y01) = res[1]
   println("外円の直径が $(2R)，大円の直径が $(2r1) のとき，等円の直径は $(2r2) である。")
   @printf("R = %g;  r1 = %g;  y = %g;  r2 = %g;  x2 = %g;  x00 = %g;  y00 = %g;  x01 = %g;  y01 = %g\n", R, r1, y, r2, x2, x00, y00, x01, y01)
   plot()
   circle(0, 0, R)
   circle(0, r1 - R, r1, :blue)
   circle(0, R - r2, r2, :green)
   circle2(x2, y + r2, r2, :green)
   x0 = sqrt(R^2 - y^2)
   segment(-x0, y, x0, y, :magenta)
   segment(-x01, y01, x00, y00)
   segment(x01, y01, -x00, y00)
   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(0, R - r2, "等円:r2\n(0,R-r2)", :green, :center, delta=-delta/2)
       point(x2, y + r2, "等円:r2\n(x2,y+r2)", :green, :center, delta=-delta/2)
       point(0, r1 - R, "大円:r1\n(0,r1-R)", :blue, :center, delta=-delta/2)
       point(x00, y00, "(x00,y00)", :red, :right, delta=-delta/2, deltax=-delta/2)
       point(x01, y01, "(x01,y01)", :red, :left, :bottom, delta=delta/2)
   end
end;