算額（その1121）

算額（その1121）

二十八 一関市萩荘 赤萩観音寺 天保2年(1831)
山村善夫：現存 岩手の算額，昭和52年1月30日，熊谷印刷，盛岡市.
http://www.wasan.jp/yamamura/yamamura.html
キーワード：円1個，四分円（半円），斜線3本

正方形の中に斜線3本と，円弧，小円を容れる。円弧の直径が 1 寸のとき，小円の直径はいかほどか。

注：「問」では「大半円」といっているが，明らかに半円ではなく，四分円である。

正方形の一辺の長さを a
大円の半径と中心座標を R, (a/2, a + a/√2); a = √2R
小円の半径と中心座標を r, (x, r)
とおき，以下の連立方程式を解く。

include("julia-source.txt")

using SymPy
@syms a::positive, R::positive, r::positive, x::positive
a = √Sym(2)R
eq1 = dist2(0, a, a, 0, x, r, r)
eq2 = dist2(0, a, a/2, 0, x, r, r)
res = solve([eq1, eq2], (r, x))[2]

   (-9*sqrt(2)*R*(-1 + sqrt(13 - 4*sqrt(10))/3)^2/8 + sqrt(2)*R*(-1 + sqrt(13 - 4*sqrt(10))/3)/2 - 9*sqrt(2)*R*(-1 + sqrt(13 - 4*sqrt(10))/3)^3/16 + sqrt(2)*R, -3*sqrt(2)*R*(-1 + sqrt(13 - 4*sqrt(10))/3)/4)

ans_r = res[1] |> sympy.sqrtdenest |> simplify
ans_r |> println

   R*(-2*sqrt(5) - 2 + sqrt(10) + 3*sqrt(2))/4

小円の半径 r は，大円の半径 R の (√10 + 3√2 - 2√5 - 2)/4 = 0.2331955980720215 倍である。
大円の直径が 1 寸のとき，小円の直径は 0.2331955980720215 である。

「術」（山村も）では 1 - √(1 - √0.5) = 0.4588038998538031 倍としているが，根拠も不明である。そもそも，図を描いてみても，大円のほぼ半分の大きさというのは理解できない。

function draw(R, more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   a = √2R
   (r, x) = (-9*sqrt(2)*R*(-1 + sqrt(13 - 4*sqrt(10))/3)^2/8 + sqrt(2)*R*(-1 + sqrt(13 - 4*sqrt(10))/3)/2 - 9*sqrt(2)*R*(-1 + sqrt(13 - 4*sqrt(10))/3)^3/16 + sqrt(2)*R, -3*sqrt(2)*R*(-1 + sqrt(13 - 4*sqrt(10))/3)/4)
   @printf("大円の直径が %g のとき，小円の直径は %g である。\n", 2R, 2r)
   #@printf("r2 = %g;  a = %g;  b = %g;  c = %g;  r1 = %g;  x1 = %g;  y2 = %g\n", r2, a, b, c, r1, x1, y2)
   plot([0, a, a, 0, 0], [0, 0, a, a, 0], color=:magenta, lw=0.5)
   circle(a/2, a + R/√2, R)
   circle(x, r, r, :green)
   segment(0, a, a, 0, :blue)
   segment(0, 0, a, a, :blue)
   segment(0, a, a/2, 0, :blue)
   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(a, 0, " a", :magenta, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(x, r, "小円:r\n(x,r)", :green, :center, delta=-delta/2)
       point(a/2, a + R/√2, "大円:R,(a/2,a+R/√2)", :red, :center, delta=-delta/2)
   end
end;