p≠0 のとき、
d/dx (x^p)
= x^p (1/x^p) (d/dx (x^p))
= x^p (d/dx ln(x^p)) (∵ f'(g(x)) g'(x) = d/dx f(g(x)) )
= x^p (d/dx (p ln(x))) (∵ log[a](b^c) = c log[a](b) )
= x^p p (d/dx ln(x))
= x^p p (1/x)
= p x^(p-1)
p＝0 のとき、
d/dx (x^p)
= d/dx (x^0)
= d/dx 1
= 0
= 0 x^(0-1)
= p x^(p-1)
f(x) = log[a](x), g(y) = a^y とすると、
d/dx log[a](x)
= f'(x)
= 1/g'(f(x)) (∵ g(f(x)) = x のとき、f'(x) = 1/g'(f(x)) )
= 1/(ln(a) a^f(x))
= 1/(ln(a) a^log[a](x))
= 1/(ln(a) x)
= (1/ln(a)) (1/x)
d/dx (a^x)
= lim[h→0]((a^(x+h) - a^x)/h)
= lim[h→0]((a^x a^h - a^x)/h)
= lim[h→0](a^x ((a^h - 1)/h))
= a^x lim[h→0]((a^h - 1)/h)
= a^x lim[h→0]((a^h - 1)/log[a](a^h))
= a^x lim[h→0]((a^h - 1)/log[a](1 + (a^h - 1)))
= a^x lim[t→0]( t /log[a](1 + t ))
= a^x lim[t→0]( 1 /((1/t) log[a](1 + t)))
= a^x lim[t→0]( 1 /log[a]((1 + t)^(1/t)))
= a^x lim[t→0](log[a](a)/log[a]((1 + t)^(1/t)))
= a^x lim[t→0] log[(1 + t)^(1/t)](a) (∵ log[p](q)/log[p](r) = log[r](q) )
= a^x log[lim[t→0]((1 + t)^(1/t))](a)
= a^x log[e](a) (∵ lim[t→0]((1 + t)^(1/t)) という値の定数を e と書く決まり)
= a^x ln(a)
= ln(a) a^x
log[a](b)
= (log[a](b) log[c](a))/log[c](a)
= log[c](a^log[a](b))/log[c](a)
= log[c](b)/log[c](a)
a^(c log[a](b))
= a^((log[a](b)) c)
= (a^(log[a](b)))^c
= b^c
= a^(log[a](b^c))
(∵ a^x = y となる x を log[a](y) と書くのが log の定義だから、a^log[a](y) = y )
整理すると、
a^(c log[a](b)) = a^(log[a](b^c))
これが、
c log[a](b) = log[a](b^c) が成り立つ理由。
d/dx ∫[a→x] f(t) dt
＝ lim[h→0]((∫[a→x+h] f(t) dt - ∫[a→x] f(t) dt)/h)
＝ lim[h→0]((∫[x→x+h] f(t) dt)/h)
≧ lim[h→0]((∫[x→x+h] min[x≦t≦x+h](f(t)) dt)/h)
＝ lim[h→0](( min[x≦t≦x+h](f(t)) h )/h)
＝ lim[h→0] min[x≦t≦x+h](f(t))
＝ min[x≦t≦x+0](f(t))
＝ min[ t＝x ](f(t))
＝ f(x)
d/dx ∫[a→x] f(t) dt
＝ lim[h→0]((∫[a→x+h] f(t) dt - ∫[a→x] f(t) dt)/h)
＝ lim[h→0]((∫[x→x+h] f(t) dt)/h)
≦ lim[h→0]((∫[x→x+h] max[x≦t≦x+h](f(t)) dt)/h)
＝ lim[h→0](( max[x≦t≦x+h](f(t)) h )/h)
＝ lim[h→0] max[x≦t≦x+h](f(t))
＝ max[x≦t≦x+0](f(t))
＝ max[ t＝x ](f(t))
＝ f(x)
整理すると、
f(x) ≦ d/dx ∫[a→x] f(t) dt ≦ f(x)
よって、
d/dx ∫[a→x] f(t) dt = f(x)
d/dx F(x) = f(x) を満たす F(x) が丁度、∫[a→x] f(t) dt になっている。
f(y) = y^(1/n), g(x) = x^m とすると、
d/dx (x^(m/n))
= d/dx ((x^m)^(1/n))
= d/dx f(x^m)
= d/dx f(g(x))
= f'(g(x)) g'(x) (∵ d/dx f(g(x)) = f'(g(x)) g'(x) )
= ((1/n) (g(x))^(1/n - 1)) (m x^(m-1))
= ((1/n) (x^m)^(1/n - 1)) (m x^(m-1))
= ((1/n) x^(m (1/n - 1))) (m x^(m-1))
= (m/n) x^(m (1/n - 1) + (m-1))
= (m/n) x^(m/n - 1)
f(x) = x^(1/n), g(y) = y^n とすると、
d/dx (x^(1/n))
= f'(x)
= 1/g'(f(x)) (∵ g(f(x)) = x のとき、f'(x) = 1/g'(f(x)) )
= 1/(n (f(x))^(n-1)
= 1/(n (x^(1/n))^(n-1)) (∵ g'(y) = n y^(n-1) )
= (1/n) (x^(1/n))^(1-n)
= (1/n) x^((1-n)/n)
= (1/n) x^(1/n - 1)
m が正の整数のとき、
lim[h→0](((x+h)^m - x^m)/h)
= lim[h→0]((((x+h) - x)
((x+h)^(m-1) x^0 + (x+h)^(m-2) x^1 + ‥‥
+ (x+h)^1 x^(m-2) + (x+h)^0 x^(m-1)))/h)
= lim[h→0]((x+h)^(m-1) x^0 + (x+h)^(m-2) x^1 + ‥‥
+ (x+h)^1 x^(m-2) + (x+h)^0 x^(m-1))
= (x+0)^(m-1) x^0 + (x+0)^(m-2) x^1 + ‥‥
+ (x+0)^1 x^(m-2) + (x+0)^0 x^(m-1)
= x^(m-1) x^0 + x^(m-2) x^1 + ‥‥ + x^1 x^(m-2) + x^0 x^(m-1)
= m x^(m - 1)
d/dx x^m
= lim[h→0](((x+h)^m - x^m)/h)
= m x^(m - 1)
d/dx x^(-m)
= d/dx (1/x^m)
= lim[h→0](((1/(x+h)^m) - (1/x^m))/h)
= lim[h→0]((x^m - (x+h)^m)/((x+h)^m x^m h))
= lim[h→0](- ((x+h)^m - x^m)/((x+h)^m x^m h))
= - lim[h→0](((x+h)^m - x^m)/h)/lim[h→0]((x+h)^m x^m)
= - m x^(m-1)/(x^m x^m)
= (-m) x^((-m) - 1)
d/dx x^0
= d/dx 1
= lim[h→0]((1 - 1)/h)
= lim[h→0](0/h)
= lim[h→0] 0
= 0
= 0 x^(0 - 1)
整理すると、
m が正の整数のとき、
d/dx x^ m = m x^( m - 1)
d/dx x^(-m) = (-m) x^((-m) - 1)
d/dx x^ 0 = 0 x^( 0 - 1)
これが、
n が整数のとき、
d/dx x^ n = n x^( n - 1)
となる理由。
f'(x)
= lim[h→0]((f(x+h) - f(x))/h)
= lim[h→0]((f(x+h) - f(x))/((x+h) - x))
= lim[h→0]((f(x+h) - f(x))/(g(f(x+h)) - g(f(x))))
= lim[h→0]((f(x+h) - f(x))/(g(f(x) + (f(x+h) - f(x))) - g(f(x))))
= lim[t→0]( t /(g(f(x) + t ) - g(f(x))))
= lim[t→0](1/((g(f(x) + t) - g(f(x)))/t))
= 1/lim[t→0]((g(f(x) + t) - g(f(x)))/t)
= 1/g'(f(x))
d/dx f(g(x))
= lim[h→0] ((f( g(x+h) ) - f(g(x)))/h)
= lim[h→0] ((f(g(x) + (g(x+h) - g(x))) - f(g(x)))/h)
= lim[h→0](((f(g(x) + (g(x+h) - g(x))) - f(g(x)))/(g(x+h) - g(x)))
((g(x+h) - g(x))/h))
= (lim[h→0] ((f(g(x) + (g(x+h) - g(x))) - f(g(x)))/(g(x+h) - g(x))))
lim[h→0]((g(x+h) - g(x))/h)
= (lim[t→0] ((f(g(x) + t ) - f(g(x)))/ t ))
lim[h→0]((g(x+h) - g(x))/h)
= f'(g(x)) g'(x)
2は素数だから、素数は1個以上存在する。
素数が n 個以上存在すると仮定すると、
素数を小さい方から順に a[1],a[2],‥,a[n] と表すと、
a[1]×a[2]×‥×a[n] + 1 が素数の場合、
この素数は、
a[1],a[2],‥,a[n] のいずれよりも大きい数だから、
a[1],a[2],‥,a[n] のいずれとも異なる素数なので、
素数は n+1 個以上存在する。
a[1]×a[2]×‥×a[n] + 1 が素数でない場合、
この数は、
素数を掛け合わせて出来た数であるが、
a[1],a[2],‥,a[n] のいずれでも割り切れない（余りが1）から、
a[1],a[2],‥,a[n] 以外の素数を掛け合わせて出来た数であり、
それは、
a[1],a[2],‥,a[n] 以外に素数が存在することを意味するので、
素数は n+1 個以上存在する。
整理すると、
素数は1個以上存在し、かつ、
素数が n 個以上存在するのなら、必ず n+1 個以上存在する。
これが、素数は無限個存在すると言える理由。
例として、8×5＝5×8 が成り立つことを示す。
■ 0以上の整数の定義。
0は整数の1つ。
sを関数とすると、
1とはS(0)を略記したもの。
2とはS(S(0))を略記したもの。
3とはS(S(S(0)))を略記したもの。
‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥
‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥
0,S(0),S(S(0)),S(S(S(0))),‥‥同士の間で一致するものは無い。
■ 足し算の定義。
□＋0＝□ ‥‥‥‥‥‥‥ (a)
□＋S(△)＝S(□＋△)‥‥ (b)
■ 掛け算の定義。
□×0＝0 ‥‥‥‥‥‥‥‥ (a)
□×S(△)＝□×△＋□‥‥ (b)
■Ａ: 8×5＝5×8 である理由。
掛け算の定義より、8×5＝8×4＋8 ‥‥(1)
後述の理由Ｂより、5×8＝4×8＋8 ‥‥(2)
(1)(2)より、もし 8×4＝4×8 なら 8×5＝5×8
同じように、もし 8×3＝3×8 なら 8×4＝4×8
同じように、もし 8×2＝2×8 なら 8×3＝3×8
同じように、もし 8×1＝1×8 なら 8×2＝2×8
同じように、もし 8×0＝0×8 なら 8×1＝1×8
掛け算の定義より、8×0＝0 ‥‥(3)
後述の理由Ｅより、0×8＝0 ‥‥(4)
(3)(4)より、8×0＝0×8
8×0＝0×8 だから 8×1＝1×8
8×1＝1×8 だから 8×2＝2×8
8×2＝2×8 だから 8×3＝3×8
8×3＝3×8 だから 8×4＝4×8
8×4＝4×8 だから 8×5＝5×8
■Ｂ: 5×8＝4×8＋8 である理由。
掛け算の定義より、5×8＝5×7＋5
足し算の定義より、5×7＋5＝S(5×7＋4) だから 5×8＝S(5×7＋4) ‥‥(5)
掛け算の定義より、4×8＋8＝(4×7＋4)＋8
足し算の定義より、(4×7＋4)＋8＝S((4×7＋4)＋7) だから 4×8＋8＝S((4×7＋4)＋7)
後述の理由Ｃより、(4×7＋4)＋7＝(4×7＋7)＋4 だから 4×8＋8＝S((4×7＋7)＋4) ‥‥(6)
(5)(6)より、もし 5×7＝4×7＋7 なら 5×8＝4×8＋8
同じように、もし 5×6＝4×6＋6 なら 5×7＝4×7＋7
‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥
‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥
同じように、もし 5×1＝4×1＋1 なら 5×2＝4×2＋2
同じように、もし 5×0＝4×0＋0 なら 5×1＝4×1＋1
掛け算の定義より、5×0＝0 ‥‥(7)
掛け算の定義より、4×0＋0＝0＋0
足し算の定義より、0＋0＝0 だから 4×0＋0＝0 ‥‥(8)
(7)(8)より、5×0＝4×0＋0
5×0＝4×0＋0 だから 5×1＝4×1＋1
5×1＝4×1＋1 だから 5×2＝4×2＋2
‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥
‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥
5×6＝4×6＋6 だから 5×7＝4×7＋7
5×7＝4×7＋7 だから 5×8＝4×8＋8
■Ｃ: (□＋4)＋7＝(□＋7)＋4 である理由。
足し算の定義より、(□＋4)＋7＝S((□＋4)＋6) ‥‥(9)
足し算の定義より、(□＋7)＋4＝S(□＋6)＋4
後述の理由Ｄより、S(□＋6)＋4＝S((□＋6)＋4) だから (□＋7)＋4＝S((□＋6)＋4) ‥‥(10)
(9)(10)より、もし (□＋4)＋6＝(□＋6)＋4 なら (□＋4)＋7＝(□＋7)＋4
同じように 、もし (□＋4)＋5＝(□＋5)＋4 なら (□＋4)＋6＝(□＋7)＋6
‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥
‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥
同じように 、もし (□＋4)＋1＝(□＋1)＋4 なら (□＋4)＋2＝(□＋7)＋2
同じように 、もし (□＋4)＋0＝(□＋0)＋4 なら (□＋4)＋1＝(□＋7)＋1
足し算の定義より、(□＋4)＋0＝(□＋4) ‥‥(11)
足し算の定義より、(□＋0)＋4＝(□)＋4 ‥‥(12)
(11)(12)より、(□＋4)＋0＝(□＋0)＋4
(□＋4)＋0＝(□＋0)＋4 だから (□＋4)＋1＝(□＋7)＋1
(□＋4)＋1＝(□＋1)＋4 だから (□＋4)＋2＝(□＋7)＋2
‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥
‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥
(□＋4)＋5＝(□＋5)＋4 だから (□＋4)＋6＝(□＋7)＋6
(□＋4)＋6＝(□＋6)＋4 だから (□＋4)＋7＝(□＋7)＋4
■Ｄ: S(△)＋4＝S(△＋4) である理由。
足し算の定義より、S(△)＋4＝S(S(△)＋3) ‥‥(13)
足し算の定義より、S(△＋4)＝S(S(△＋3)) ‥‥(14)
(13)(14)より、もし S(△)＋3＝S(△＋3) なら S(△)＋4＝S(△＋4)
同じように 、もし S(△)＋2＝S(△＋2) なら S(△)＋3＝S(△＋3)
同じように 、もし S(△)＋1＝S(△＋1) なら S(△)＋2＝S(△＋2)
同じように 、もし S(△)＋0＝S(△＋0) なら S(△)＋1＝S(△＋1)
足し算の定義より、S(△)＋0＝S(△) ‥‥(15)
足し算の定義より、S(△＋0)＝S(△) ‥‥(16)
(15)(16)より、S(△)＋0＝S(△＋0)
S(△)＋0＝S(△＋0) だから S(△)＋1＝S(△＋1)
S(△)＋1＝S(△＋1) だから S(△)＋2＝S(△＋2)
S(△)＋2＝S(△＋2) だから S(△)＋3＝S(△＋3)
S(△)＋3＝S(△＋3) だから S(△)＋4＝S(△＋4)
■Ｅ: 0×8＝0 である理由。
掛け算の定義より、0×8＝0×7＋0
足し算の定義より、0×7＋0＝0×7 だから 0×8＝0×7
(15)(16)より、もし 0×7＝0 なら 0×8＝0
同じように 、もし 0×6＝0 なら 0×7＝0
‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥
‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥
同じように 、もし 0×1＝0 なら 0×2＝0
同じように 、もし 0×0＝0 なら 0×1＝0
掛け算の定義より、0×0＝0
0×0＝0 だから 0×1＝0
0×1＝0 だから 0×2＝0
‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥
‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥
0×6＝0 だから 0×7＝0
0×7＝0 だから 0×8＝0
■ 一般化して書くと...
0以上の整数の集合をNと表すとすると、
■ 足し算の定義。
∀x ∈N (x＋0＝x) ‥‥‥‥‥‥‥ (a)
∀x,y∈N (x＋S(y)＝S(x＋y)) ‥‥ (b)
■ 掛け算の定義。
∀x ∈N (x×0＝0) ‥‥‥‥‥‥‥‥ (a)
∀x,y∈N (x×S(y)＝x×y＋x) ‥‥ (b)
■ 足し算の交換法則 ∀x,y∈N (x＋y＝y＋x) が成り立つことの証明。
(b)より ∀m∈N (0＋m＝m ⇒ 0＋S(m)＝S(0＋m)＝S(m)) ‥‥ (1)
(a)より 0＋0＝0 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥ (2)
(1)(2)より ∀x∈N (0＋x＝x) ‥‥ (3)
(b)より ∀m,y∈N (S(y)＋S(m)＝S(S(y)＋m)) ‥‥ (4)
(b)より ∀m,y∈N (S(y＋S(m))＝S(S(y＋m))) ‥‥ (5)
(4)(5)より ∀m,y∈N (S(y)＋m＝S(y＋m) ⇒ S(y)＋S(m)＝S(y＋S(m))) ‥‥ (6)
(a)より ∀ y∈N (S(y)＋0＝S(y)＝S(y＋0)) ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥ (7)
(6)(7)より ∀x,y∈N (S(y)＋x＝S(y＋x)) ‥‥ (8)
(b)より ∀x,n∈N (x＋S(n)＝S(x＋n)) ‥‥ (9)
(8)より ∀x,n∈N (S(n)＋x＝S(n＋x)) ‥‥ (10)
(9)(10)より ∀x,n∈N (x＋n＝n＋x ⇒ x＋S(n)＝S(n)＋x) ‥‥ (11)
(3)より ∀x ∈N (x＋0＝x＝0＋x) ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥ (12)
(11)(12)より ∀x,y∈N (x＋y＝y＋x)
■ 掛け算の交換法則 ∀x,y∈N (x×y＝y×x) が成り立つことの証明。
(b)より ∀m∈N (0×m＝0 ⇒ 0×S(m)＝0×m＋0＝0＋0＝0) ‥‥ (1)
(a)より 0×0＝0 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥ (2)
(1)(2)より ∀x∈N (0×x＝0) ‥‥ (3)
∀x,y,n∈N ((x＋y)＋S(n)＝S((x＋y)＋n))
∀x,y∈N (S(x)＋y＝S(x＋y)) より
∀x,y,n∈N ((x＋S(n))＋y＝S(x＋n)＋y＝S((x＋n)＋y))
よって、
∀x,y,n∈N ((x＋y)＋n＝(x＋n)＋y ⇒ (x＋y)＋S(n)＝(x＋S(n))＋y)
∀x,y,z∈N ((x＋y)＋0＝x＋y＝(x＋0)＋y)
∀x,y,z∈N ((x＋y)＋z＝(x＋z)＋y)
(b)より ∀m,y∈N (S(y)×S(m)＝S(y)×m＋S(y)＝S(S(y)×m ＋y)) ‥‥ (4)
(b)より ∀m,y∈N (y×S(m)＋S(m)＝(y×m＋y)＋S(m)
＝S((y×m＋y)＋m)＝S((y×m＋m)＋y)) ‥‥ (5)
(4)(5)より ∀m,y∈N (S(y)×m＝y×m＋m) ⇒ S(y)×S(m)＝y×S(m)＋S(m)) ‥‥ (6)
(a)より ∀ y∈N (S(y)×0＝0＝0＋0＝y×0＋0) ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥ (7)
(6)(7)より ∀x,y∈N (S(y)×x＝y×x＋x) ‥‥ (8)
(b)より ∀x,n∈N (x×S(n)＝x×n＋x) ‥‥ (9)
(8)より ∀x,n∈N (S(n)×x＝n×x＋x) ‥‥ (10)
(9)(10)より ∀x,n∈N (x×n＝n×x ⇒ x×S(n)＝S(n)×x) ‥‥ (11)
(3)より ∀x ∈N (x×0＝0＝0×x) ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥ (12)
(11)(12)より ∀x,y∈N (x×y＝y×x)