2は素数だから、素数は1個以上存在する。
素数が n 個以上存在すると仮定すると、
素数を小さい方から順に a[1],a[2],‥,a[n] と表すと、
a[1]×a[2]×‥×a[n] + 1 が素数の場合、
この素数は、
a[1],a[2],‥,a[n] のいずれよりも大きい数だから、
a[1],a[2],‥,a[n] のいずれとも異なる素数なので、
素数は n+1 個以上存在する。
a[1]×a[2]×‥×a[n] + 1 が素数でない場合、
この数は、
素数を掛け合わせて出来た数であるが、
a[1],a[2],‥,a[n] のいずれでも割り切れない（余りが1）から、
a[1],a[2],‥,a[n] 以外の素数を掛け合わせて出来た数であり、
それは、
a[1],a[2],‥,a[n] 以外に素数が存在することを意味するので、
素数は n+1 個以上存在する。
整理すると、
素数は1個以上存在し、かつ、
素数が n 個以上存在するのなら、必ず n+1 個以上存在する。
これが、素数は無限個存在すると言える理由。
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