掛け算の交換法則が成り立つ理由

例として、8×5＝5×8 が成り立つことを示す。

■ 0以上の整数の定義。
0は整数の1つ。
sを関数とすると、
1とはS(0)を略記したもの。
2とはS(S(0))を略記したもの。
3とはS(S(S(0)))を略記したもの。
‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥
‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥
0,S(0),S(S(0)),S(S(S(0))),‥‥同士の間で一致するものは無い。

■ 足し算の定義。
□＋0＝□ ‥‥‥‥‥‥‥ (a)
□＋S(△)＝S(□＋△)‥‥ (b)

■ 掛け算の定義。
□×0＝0 ‥‥‥‥‥‥‥‥ (a)
□×S(△)＝□×△＋□‥‥ (b)

■Ａ: 8×5＝5×8 である理由。
掛け算の定義より、8×5＝8×4＋8 ‥‥(1)
後述の理由Ｂより、5×8＝4×8＋8 ‥‥(2)
(1)(2)より、もし 8×4＝4×8 なら 8×5＝5×8
同じように、もし 8×3＝3×8 なら 8×4＝4×8
同じように、もし 8×2＝2×8 なら 8×3＝3×8
同じように、もし 8×1＝1×8 なら 8×2＝2×8
同じように、もし 8×0＝0×8 なら 8×1＝1×8
掛け算の定義より、8×0＝0 ‥‥(3)
後述の理由Ｅより、0×8＝0 ‥‥(4)
(3)(4)より、8×0＝0×8
8×0＝0×8 だから 8×1＝1×8
8×1＝1×8 だから 8×2＝2×8
8×2＝2×8 だから 8×3＝3×8
8×3＝3×8 だから 8×4＝4×8
8×4＝4×8 だから 8×5＝5×8

■Ｂ: 5×8＝4×8＋8 である理由。
掛け算の定義より、5×8＝5×7＋5
足し算の定義より、5×7＋5＝S(5×7＋4) だから 5×8＝S(5×7＋4) ‥‥(5)
掛け算の定義より、4×8＋8＝(4×7＋4)＋8
足し算の定義より、(4×7＋4)＋8＝S((4×7＋4)＋7) だから 4×8＋8＝S((4×7＋4)＋7)
後述の理由Ｃより、(4×7＋4)＋7＝(4×7＋7)＋4 だから 4×8＋8＝S((4×7＋7)＋4) ‥‥(6)
(5)(6)より、もし 5×7＝4×7＋7 なら 5×8＝4×8＋8
同じように、もし 5×6＝4×6＋6 なら 5×7＝4×7＋7
‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥
‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥
同じように、もし 5×1＝4×1＋1 なら 5×2＝4×2＋2
同じように、もし 5×0＝4×0＋0 なら 5×1＝4×1＋1
掛け算の定義より、5×0＝0 ‥‥(7)
掛け算の定義より、4×0＋0＝0＋0
足し算の定義より、0＋0＝0 だから 4×0＋0＝0 ‥‥(8)
(7)(8)より、5×0＝4×0＋0
5×0＝4×0＋0 だから 5×1＝4×1＋1
5×1＝4×1＋1 だから 5×2＝4×2＋2
‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥
‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥
5×6＝4×6＋6 だから 5×7＝4×7＋7
5×7＝4×7＋7 だから 5×8＝4×8＋8

■Ｃ: (□＋4)＋7＝(□＋7)＋4 である理由。
足し算の定義より、(□＋4)＋7＝S((□＋4)＋6) ‥‥(9)
足し算の定義より、(□＋7)＋4＝S(□＋6)＋4
後述の理由Ｄより、S(□＋6)＋4＝S((□＋6)＋4) だから (□＋7)＋4＝S((□＋6)＋4) ‥‥(10)
(9)(10)より、もし (□＋4)＋6＝(□＋6)＋4 なら (□＋4)＋7＝(□＋7)＋4
同じように 、もし (□＋4)＋5＝(□＋5)＋4 なら (□＋4)＋6＝(□＋7)＋6
‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥
‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥
同じように 、もし (□＋4)＋1＝(□＋1)＋4 なら (□＋4)＋2＝(□＋7)＋2
同じように 、もし (□＋4)＋0＝(□＋0)＋4 なら (□＋4)＋1＝(□＋7)＋1
足し算の定義より、(□＋4)＋0＝(□＋4) ‥‥(11)
足し算の定義より、(□＋0)＋4＝(□)＋4 ‥‥(12)
(11)(12)より、(□＋4)＋0＝(□＋0)＋4
(□＋4)＋0＝(□＋0)＋4 だから (□＋4)＋1＝(□＋7)＋1
(□＋4)＋1＝(□＋1)＋4 だから (□＋4)＋2＝(□＋7)＋2
‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥
‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥
(□＋4)＋5＝(□＋5)＋4 だから (□＋4)＋6＝(□＋7)＋6
(□＋4)＋6＝(□＋6)＋4 だから (□＋4)＋7＝(□＋7)＋4

■Ｄ: S(△)＋4＝S(△＋4) である理由。
足し算の定義より、S(△)＋4＝S(S(△)＋3) ‥‥(13)
足し算の定義より、S(△＋4)＝S(S(△＋3)) ‥‥(14)
(13)(14)より、もし S(△)＋3＝S(△＋3) なら S(△)＋4＝S(△＋4)
同じように  、もし S(△)＋2＝S(△＋2) なら S(△)＋3＝S(△＋3)
同じように  、もし S(△)＋1＝S(△＋1) なら S(△)＋2＝S(△＋2)
同じように  、もし S(△)＋0＝S(△＋0) なら S(△)＋1＝S(△＋1)
足し算の定義より、S(△)＋0＝S(△) ‥‥(15)
足し算の定義より、S(△＋0)＝S(△) ‥‥(16)
(15)(16)より、S(△)＋0＝S(△＋0)
S(△)＋0＝S(△＋0) だから S(△)＋1＝S(△＋1)
S(△)＋1＝S(△＋1) だから S(△)＋2＝S(△＋2)
S(△)＋2＝S(△＋2) だから S(△)＋3＝S(△＋3)
S(△)＋3＝S(△＋3) だから S(△)＋4＝S(△＋4)

■Ｅ: 0×8＝0 である理由。
掛け算の定義より、0×8＝0×7＋0
足し算の定義より、0×7＋0＝0×7 だから 0×8＝0×7
(15)(16)より、もし 0×7＝0 なら 0×8＝0
同じように  、もし 0×6＝0 なら 0×7＝0
‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥
‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥
同じように  、もし 0×1＝0 なら 0×2＝0
同じように  、もし 0×0＝0 なら 0×1＝0
掛け算の定義より、0×0＝0
0×0＝0 だから 0×1＝0
0×1＝0 だから 0×2＝0
‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥
‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥
0×6＝0 だから 0×7＝0
0×7＝0 だから 0×8＝0

■ 一般化して書くと...

0以上の整数の集合をNと表すとすると、

■ 足し算の定義。
∀x  ∈N (x＋0＝x) ‥‥‥‥‥‥‥ (a)
∀x,y∈N (x＋S(y)＝S(x＋y)) ‥‥ (b)

■ 掛け算の定義。
∀x  ∈N (x×0＝0) ‥‥‥‥‥‥‥‥ (a)
∀x,y∈N (x×S(y)＝x×y＋x) ‥‥ (b)

■ 足し算の交換法則 ∀x,y∈N (x＋y＝y＋x) が成り立つことの証明。

(b)より    ∀m∈N (0＋m＝m ⇒ 0＋S(m)＝S(0＋m)＝S(m)) ‥‥ (1)
(a)より            0＋0＝0  ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥ (2)
(1)(2)より ∀x∈N (0＋x＝x) ‥‥ (3)

(b)より ∀m,y∈N (S(y)＋S(m)＝S(S(y)＋m)) ‥‥ (4)
(b)より ∀m,y∈N (S(y＋S(m))＝S(S(y＋m))) ‥‥ (5)
(4)(5)より ∀m,y∈N (S(y)＋m＝S(y＋m) ⇒ S(y)＋S(m)＝S(y＋S(m))) ‥‥ (6)
(a)より    ∀  y∈N (S(y)＋0＝S(y)＝S(y＋0)) ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥ (7)
(6)(7)より ∀x,y∈N (S(y)＋x＝S(y＋x)) ‥‥ (8)

(b)より ∀x,n∈N (x＋S(n)＝S(x＋n)) ‥‥ (9)
(8)より ∀x,n∈N (S(n)＋x＝S(n＋x)) ‥‥ (10)
(9)(10)より  ∀x,n∈N (x＋n＝n＋x ⇒ x＋S(n)＝S(n)＋x) ‥‥ (11)
(3)より      ∀x  ∈N (x＋0＝x＝0＋x)  ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥ (12)
(11)(12)より ∀x,y∈N (x＋y＝y＋x)

■ 掛け算の交換法則 ∀x,y∈N (x×y＝y×x) が成り立つことの証明。

(b)より    ∀m∈N (0×m＝0 ⇒ 0×S(m)＝0×m＋0＝0＋0＝0) ‥‥ (1)
(a)より            0×0＝0  ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥ (2)
(1)(2)より ∀x∈N (0×x＝0) ‥‥ (3)

∀x,y,n∈N ((x＋y)＋S(n)＝S((x＋y)＋n))
∀x,y∈N (S(x)＋y＝S(x＋y)) より
∀x,y,n∈N ((x＋S(n))＋y＝S(x＋n)＋y＝S((x＋n)＋y))
よって、
∀x,y,n∈N ((x＋y)＋n＝(x＋n)＋y ⇒ (x＋y)＋S(n)＝(x＋S(n))＋y)
∀x,y,z∈N ((x＋y)＋0＝x＋y＝(x＋0)＋y)
∀x,y,z∈N ((x＋y)＋z＝(x＋z)＋y)

(b)より ∀m,y∈N (S(y)×S(m)＝S(y)×m＋S(y)＝S(S(y)×m   ＋y)) ‥‥ (4)
(b)より ∀m,y∈N (y×S(m)＋S(m)＝(y×m＋y)＋S(m)
                          ＝S((y×m＋y)＋m)＝S((y×m＋m)＋y)) ‥‥ (5)
(4)(5)より ∀m,y∈N (S(y)×m＝y×m＋m) ⇒ S(y)×S(m)＝y×S(m)＋S(m)) ‥‥ (6)
(a)より    ∀  y∈N (S(y)×0＝0＝0＋0＝y×0＋0) ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥ (7)
(6)(7)より ∀x,y∈N (S(y)×x＝y×x＋x) ‥‥ (8)

(b)より ∀x,n∈N (x×S(n)＝x×n＋x) ‥‥ (9)
(8)より ∀x,n∈N (S(n)×x＝n×x＋x) ‥‥ (10)
(9)(10)より  ∀x,n∈N (x×n＝n×x ⇒ x×S(n)＝S(n)×x) ‥‥ (11)
(3)より      ∀x  ∈N (x×0＝0＝0×x)  ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥ (12)
(11)(12)より ∀x,y∈N (x×y＝y×x)