リーマンとガウスとアインシュタインと”その１”〜歪んだ空間の幾何学と一般相対性理論

　数学の”言葉”は､様々な分野で役立てられてますが。アインシュタインの｢相対性理論｣で使われたのも数学の”言葉”で､時間と空間をまとめ､4次元空間と見なした方が理屈に合うと(数学的に)考えたのが､｢相対性理論｣でした。　
　アインシュタインは重力の正体を理解しようと､”物が落ちるのは何かに引かれるからではなく､空間が曲がっているからだ”と考えました。”引力よりも空間に歪みがあるから重力に見える”と。

　そこでアインシュタインは､曲がった空間を記述する”言葉”を探してみると､数学にその”言葉”があった。それこそがガウスが発見した｢曲率｣の概念です。
　この図形の”曲がり”を表す｢曲率｣は､幾何学で使われる大切な概念の一つです。
　19世紀を代表する天才数学者のリーマンは､この”曲率”を自明な形で定義し､この曲率で相対性理論を説明する事が出来ます。お陰でアインシュタインは､”リーマンだけが既に､新しい空間概念(相対性理論)を生み出していた”と後に称えています。
　以上､夢ナビの｢数学と相対性理論を使えば書ける宇宙地図｣から抜粋でした。

相対性理論を理解するには幾何学を学べ

　”一般相対性理論の敷居が高いのは､そこにたどり着くまでに､リーマン幾何学という非常に難解な数学を学ぶ必要がある。
　もしこのリーマン幾何学が会得できたなら､一般相対性理論は､呆気ない程簡単に言い表す事が出来る。しかし､そこへたどり着くまでに多くの学生が撃墜されてしまう”と､あるコラム｢趣味の物理学書店｣にあった。
　数学的な言い方をすれば､相対論を理解する為の最初の難関は､”歪んだ空間”上での移動と測地線(光の最短距離)とテンソル(多重配列)の概念となる。

　特に”テンソル”の概念が多くの人の頭を悩ませる。このテンソルを判り易く言えば､複数の"次元"を持つデータを”多重配列”として表現し計算する。つまり､線形的な量または線形的な幾何概念を一般化したもので､基底を選べば多次元の配列(多重配列)として表現できる。
　一般相対性理論では､4次元の空間の歪みの精確な記述を得る為に､”テンソル解析”に頼る必要があります。
　つまり､m行n列(ｍ,ｎ)の”位置の歪み”を全て計算するには､これらの配列を纏めて掛け合わせる必要がある。
　”その2”でも述べる様に､リーマン幾何学(歪んだ空間の幾何学)がガウスやリーマンにより”位置の幾何学”と呼ばれてたのも肯けますね。この”位置の歪み”を計算するツールが”テンソル”なんですね。

　故に､一般相対性理論を理解するには､この計量テンソルの他に､リーマンテンソル､リッチテンソル､アインシュタインテンソル､エネルギーテンソルの5つのテンソルを勉強する必要があります。殆どの人がここで頓挫するのは確実ですね。
　つまり､このテンソルを理解できない限り､一般相対性理論は夢のまた夢な訳で､現代の物理学者が時空をガウスやリーマンのレベルで考える事が出来ない？のも無理はないです。
　因みに数学の世界では､テンソルを多重線型写像と見ます。これには基底を使ったベクトルの計算に慣れる必要がありますが､話がややこしくなり過ぎるので､ここ迄にしときます。 

歪んだ空間の幾何学と相対性理論

　アインシュタイン(1879-1955)は､強力な重力により”歪んだ時空”を記述するに､”リーマン多様体”の概念が有効である事を見いだした。彼が相対性理論を構築する基盤とした”歪んだ空間の幾何学”､つまりリーマン幾何学とは？

　因みに､”リーマン多様体”とは､ガウスの｢驚異の定理(1828)｣である､”曲面の曲率は角度や長さを定める計量テンソルにのみ依存する”を､高次元空間(多様体)にまで拡張したものです。
　つまり､多次元空間の歪みを平面上で表現する様なものですね。この際､点と点を結ぶ距離を多様化した”リーマン距離”を用いると､”リーマン計量”に依存する角度や曲線の長さなどの幾何的性質が､多様体上でも定義可能になる。

アインシュタインの予想と時空の計量

　前述した様に､リーマン多様体とは地球儀を1枚の平面地図に映し出す様なものだが。当然距離に歪みが出る。そこで2点間の正しい距離を得るには､球面の”計量”を用いる必要がある。
　例えば4次元空間の宇宙の場合､外から形を認識する事は不可能だ。ではアインシュタインは､どうやって宇宙の距離を”計量”したのか？

　そこでアインシュタイン方程式である”空間の物質分布が判れば､時空の計量を知る事ができる”
　つまり､アインシュタイン方程式により計量が判れば､物体の動きが計算できる。　
　これは”重力が力ではなく､計量という空間が持つ幾何学的性質に依存し､重力の影響しか受けてない物体は､時空内の測地線で与えられる”とアインシュタインは推測した。
　因みに測地線とは､歪んだ空間における直線の事です。
　つまり､”自由落下する物体は､時空内を真っ直ぐに進んでる”に過ぎないと。

　これが後に偉大なる｢一般相対性理論｣に結びつくんですが､アインシュタインが4次元空間である宇宙での物体の動きを計算するのに､”リーマン多様体”の概念をベースにした事は明らかですね。
　アインシュタインの｢一般的相対性理論｣の基本的な考え方は､空間の3次元と時間の1次元を数学的に4次元の時空として扱い､この4次元の連続体は質量とエネルギーという重力が存在する事で､歪みやシワが寄るのだが。

　一方ガウス的に見れば､この時空の幾何学が5次元の連続体の中に収まってると考える事で展開される。厳密に言えば､2次元の面が3次元の空間の中に収まってると考えたのと同じである。
　そこでリーマンは､師匠ガウスの考えを拡張し､n次元の空間が歪みを定義するには､n+1次元の空間が必要だと考えた。
　つまり､リーマンはアインシュタインの一般的相対性理論を先読みしてた事になる。 

”幾何学の基礎をなす仮説について”

　ガウスは2次元平面の特性に関するアイデアを､曲面に関する微分幾何学を使い､抽出した。これは､1827年の｢曲面に関する一般的研究｣の中のアイデアの1つでした。
　”曲面の性質はその曲面の上の2点間の距離や角度や曲率だけで全て表せる”と。これを上述した｢計量テンソル｣と言うんですが。
　つまり､2次元曲面が存在するには､その周囲に3次元空間は必ずしも存在する必要はない。故に､歪んだ3次元空間を含む高次元の空間を考える必要はない。その代わり､テンソルという非常にややこしい概念を理解する必要がある。

　そしてリーマンは､歪んだ3次元だけでなく一般のn次元の歪んだ空間を表す持論を発見した。
　そのリーマンが1854年に発表した｢幾何学の基礎をなす仮説について｣という題の講義は､学会を驚かせ､画期的というより不滅と称された。
　リーマンのこの先進的なアイデアは､完全に受け入れられるまで何十年も掛かり､自然の物理的世界に応用されたのは60年経ってからで､一般相対性理論の数学的枠組みとなったんです。
　因みに､この論文の中には数学記号が殆どない。まるで哲学の資料である。論文の主題となる”空間のあり方”は､ユークリッド空間(歪みのない平坦な空間)として見れば､既に片のついた問題だった。
　しかし､1830年代にロバチェフスキーが初めて記述した非ユークリッド幾何学は”哲学的な異端”だった。リーマンはその異端を拡張し､この歪んだ空間の幾何学との繋りがバレない様に､一般的水準で提示したのだ。
　ガウスが､既に発見してた非ユークリッド幾何学を公にしなかったのは､”バカがケチをつける”のを恐れたからである。

　リーマンはこの教授資格試験講義で､上述したガウスの”秘めた”アイデアを取り上げ､任意の次元の数の空間に一般化したんです。
　ガウスは2次元のシートを､それを見る事の出来る3次元空間の中に置いた形で見ていた。これはガウスが土地の測量をした経験からの自然な一般化だったのだ。
　それをリーマンは､考察する空間の内部にある点に視点を移した。
　つまり､リーマンの｢幾何学の基礎をなす仮説｣は､アインシュタインの一般相対性の数学的理論でもあったのだ。

　リーマンは､数学だけでなく哲学にも強い関心があった。数学者リーマンは偉大なる哲学者でもあった。
　アインシュタインは､リーマンのその哲学的な考え方に共感したのかもしれない。このリーマンの思想に宇宙の果てを見てたのかもです。
　次回の”その2”では､リーマン幾何学とアインシュタインが眺めた宇宙モデルについて説明します。