確率論：伊藤清（第３章：確率論の基礎概念）

「確率論：伊藤清」第３章：確率論の基礎概念

残念ながら第３章に入ってすぐついていけなくなった。証明がこみ入りすぎている。レビュー記事は大雑把なものにとどめ、とりあえずそのまま次の章に進むことにした。

コルモゴロフが提唱した「確率変数の確率法則の定義」に関して確率空間の「完備性」、「完全性」に加えて第３章では「可分性」の仮定を追加している。この前提のもとに確率論の基礎をなす「平均値」、「分散」、「分布関数」、「特性関数」、「条件付確率」などが意味のある値として存在する、つまり有限の値に収束することを証明している。

次の第４章はざっと見る限り、理解できそうだ。

第３章：確率論の基礎概念
- 可分完全確率測度
- 事象と確率変数
- 分割とσ加法族
- 独立
- 条件付確率測度
- 条件付確率測度の性質
- 実確率変数
- 条件付平均値作用素

第３章のキーワード：可分性、完全性、可分完全確率測度、完備確率測度、正則確率測度、分離族、事象、確率変数、外延、ボレル・カンテリの補題、実確率変数、n次元ベクトル確率変数、S値確率変数、T値確率変数、T値位相確率変数、娘、母、確率母関数、結合変数、期待値（平均値）、期待値の変換公式、分割とσ加法族、可分分割、細分、可算決定、独立、コルモゴロフの0-1法則、平均値の乗法性、ボレルの定理、条件付確率測度、確率収束、概収束、平均収束、法則収束、一様可積分、分布関数、能率、絶対能率、特性関数、分散、標準偏差、チェビシェフの不等式、相関係数、カッツの定理、ビーネイメの不等式、条件付平均値作用素、条件付確率法則、イェンゼンの不等式


本書を読むためには集合論、位相、ルベーグ積分、解析学などの理解が必要だ。それぞれについてのお勧め本は次のとおり。

入門者向き：「集合への30講：志賀浩二著」および「位相への30講：志賀浩二著」
中級者向き：「集合・位相入門: 松坂和夫著」
入門者向き：「ルベグ積分入門(新数学シリーズ23)：吉田洋一」
中級者向き：「ルベーグ積分入門：伊藤清三」
入門者向き：「定本 解析概論：高木貞治」


関連ページ：

ネットで学びたい方は、以下のページをご覧になるとよい。

確率論入門：（横田 壽）
http://next1.msi.sk.shibaura-it.ac.jp/MULTIMEDIA/prob/prob.html

計画数理演習(確率微分方程式)
http://takashiyoshino.random-walk.org/memo/keikaku_ensyu/web.html


関連記事：

確率論：保江邦夫
https://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/1e61db01708357715d1d758b5c1308f5


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「確率論：伊藤清」


はじめに

第１章：有限試行
- 確率空間
- 実確率変数、確率ベクトル
- 混合、直結合、樹形結合
- 条件付確率
- 独立性
- 独立な実確率変数
- 大数の法則

第２章：確率測度
- 一般の試行と確率測度
- 確率測度の拡張定理
- 確率測度の直積
- 標準確率空間
- １次元の分布
- 特性関数
- 分布族の中の位相
- d次元の分布
- R^∞の上の分布

第３章：確率論の基礎概念
- 可分完全確率測度
- 事象と確率変数
- 分割とσ加法族
- 独立
- 条件付確率測度
- 条件付確率測度の性質
- 実確率変数
- 条件付平均値作用素

第４章：独立確率変数の和
- 一般的事項
- 独立確率変数の級数の概収束
- 中心値、散布度
- 独立確率変数の級数の概発散
- 大数の強法則
- 中心極限定理
- 重複大数の法則
- Gaussの誤差論
- Poissonの少数の法則

第５章：確率過程
- 関数空間CとD
- 確率過程に関する一般事項
- 情報と増大情報系
- 停止時
- 離散時変数のマルチンゲール
- 連続時変数のマルチンゲール
- Gauss系
- Wiener過程（Brown運動）
- 多項配置、Poisson配置
- 加法過程
- 無限可解分布
- Markov過程と転移確率
- 生成作用素
- 確率微分方程式論の直観的背景
- 確率積分
- 確率微分
- 確率微分方程式
- １次元拡散過程

あとがき
索引