3整数の立方和が立方数、かつその立方根が3数最大値+1となる例

3整数 S<M<Lの立方和が立方数LL^3となり、かつL+1=LLである例をL=<1000の範囲で探した。この条件を満たす最小整数組のプラトン数の例示（ 3³+4³+5³＝6³ ）を見て、この条件を満たす例を探索してみた。

組No.                S                       M                     L                       LL

　　　　　　　(　 S^3 　+　 M^3 　+　 L^3 　　= LL^3　AND　L+1=LL　)

1                       3                       4                       5                       6                                                                             2                       1                       6                       8                       9 
3                       3                       10                     18                    19 
4                       2                       17                      40                    41 
5                      12                      19                      53                    54 
6                      14                      23                      70                     71・・・以上が2桁以下の整数組

驚いたことに！　この条件の整数組に関するパラメトリック解が得られているのである。

J. Jandasek     
 　　　　S　 　　　M 　　　　L 　　　  　　LL
No. 　　n 　　3n2+2n+1  3n3+3n2+2n   3n3+3n2+2n+1
1 　　　1 　　　　　6 　　　　8                      9
2 　　　2 　　　　　17 　　　 40   　　　　   41
3 　　　3 　　　　　34　　　 114 　　　　　115
4 　　　4 　　　　　57 　　　 248 　　　　　249     
5 　　　5 　　　　　86 　　　 460                   461

    
G. Ampon     
               S　             M　         L                LL
No.       3n2         6n2+3n+1  9n3+6n2+3n  9n3+6n2+3n+1

1            3                 10 　　　18　　　　19
2 　　　12 　　　　31 　　　102 　　　103
3　　　 27 　　　　64 　　　306 　　　307
4 　　　48 　　　　109 　　  684            685
5            75                166        1290          1291

1000以下3整数の立方和が立方数となる例は965組あり、そのうち、24組が各組左辺の最大整数と和（右辺）の立方根の差が1である。この965組には、（3,4,5,6）から派生する同一比率の（6,8,10,12）等のtrivialな解は除外している。

3³+4³+5³ = 6³ = 216 はプラトンが「国家論」中で述べた聖なる数12690000という数が216×60000で表され、「216」が宇宙の要素を表す 3・4・5  の立方和であり、かつ男性数3×女性数2である結婚数6の立方数でもある点が注目されると言われている。平方のピタゴラス数3・4・5と表情の似る、立方の3・4・5・6のこの小整数べき乗和等式には、4乗和以上には無い単純性の美しさが漂う。